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B 193 : CALCUL DANS M2(R) : INTRODUCTION
http://doclabidouille.blogs.fr/index.html#a642474
On repart donc de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), que l'on considère comme le premier véritable "espace quantique" (le plan réel <strong>R</strong><sup>2</sup> étant dépourvu de spin). Cette fois, nous allons nous intéresser aux propriétés ARITHMETIQUES de cet espace, dans le but de faire du "calcul quantique".<br />
<br />
Vu comme un ensemble numérique, M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) présente deux unités fondamentales, s<sup>0</sup> = (0,1,-1,0) et s<sup>1</sup> = (0,1,1,0). Comme on l'a vu précédemment, il s'agit d'hyper-nombres constitués de 4 réels. Pour faire le lien avec la physique, nous appelerons les nombres de <strong>R</strong> des réels "classiques" et les hyper-nombres de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), des réels "quantiques". Ces derniers sont aussi des "nombres fermioniques" ("F-nombres", en abrégé), M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) portant le spin universel ½, les hyper-nombres à 2 composantes de <strong>R</strong><sup>2</sup> constituant des "nombres bosoniques" ou "B-nombres" ou encore "scalaires quantiques", puisque le spin universel de <strong>R</strong><sup>2</sup> est zéro.<br />
<br />
Il y a deux catégories de F-nombres : les antisymétriques ou "a-nombres" r<sub>0</sub>s<sup>0</sup>, produits de réels classiques r<sub>0</sub> par l'unité s<sup>0</sup> et les symétriques ou "s-nombres" r<sub>1</sub>s<sup>1</sup>, produits de réels classiques r<sub>1</sub> par l'unité s<sup>1</sup>. D'après B 187, s<sup>1</sup> joue le rôle de "1" dans <strong>C</strong> tandis que s<sup>0</sup> imite "i". Néanmoins, à la différence de <strong>C</strong>, où (1 +/- i)² = +/-2i, s<sup>1</sup> +/- s<sup>0</sup> est NILPOTENT d'ordre 2 : (s<sup>1</sup> +/- s<sup>0</sup>)² = 0. Le résultat du calcul est complètement différent, du fait que 1 et i commutent dans <strong>C</strong>, alors que s<sup>1</sup> et s<sup>0</sup> ANTI-commutent dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) : <strong>C</strong> est un corps de nombres COMMUTATIFS à une seule unité "1", M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) est une algèbre de nombres à 2 unités ANTI-COMMUTATIVES.<br />
<br />
Si ce n'était pour les problèmes liés au cycle des puissances de "i", l'origine du SIGNE des réels classiques aurait pu se trouver dans "l'unité imaginaire". Dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), les traces des s<sup>A</sup> sont nulles et leurs déterminants, OPPOSéS :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1a) Det(s<sup>A</sup>) = 1 - 2A => Det(r<sub>A</sub>s<sup>A</sup>) = r<sub>A</sub>²Det(s<sup>A</sup>) = (1 - 2A)r<sub>A</sub>² (A = 0,1)</span><br />
<br />
L'avantage de ces nombres, tout à fait classiques par ailleurs, est d'être INVARIANT : lorsque les s<sup>A</sup> agissent sur les "vecteurs d'état" du plan réel <strong>R</strong><sup>2</sup>, leurs traces et leurs déterminants conservent donc la même valeur dans TOUS les référentiels de <strong>R</strong><sup>2</sup>. Ils ne sont pas affectés par les changements de représentation dans cet "espace d'état". On ne trouve aucun équivalent à cela dans <strong>R</strong> ni même <strong>C</strong>, parce qu'ils sont construits comme des corps algébriques et non comme des "espaces d'opérateurs" : qu'ils soient réels ou complexes, il n'y a pas de "nombres opérant sur d'autres nombres", il n'y a que des opérations arithmétiques entre nombres. A partir de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), au contraire, on voit clairement apparaître DEUX sortes bien distinctes de multiplication : la multiplication tensorielle, dont le résultat N'EST PLUS dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), puisqu'elle donne pour résultat des éléments de M<sub>4</sub>(<strong>R</strong>) et la multiplication tensorielle CONTRACTEE, ou "produit matriciel" qui, lui, RESTE dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). Aussi, si le groupe additif s'applique à toutes les structures algébriques, le groupe multiplicatif varie énormément d'une structure à l'autre : dans <strong>R</strong>, c'est a.b = b.a = c ; dans <strong>C</strong>, (a + ib).(c + id) = (c + id).(a + ib) = ac - bd + i(ad + bc) ; dans <strong>R</strong><sup>2</sup>, ON N'EN A PAS, puisque le produit tensoriel (a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>) x<sub>t</sub> (b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>) donne un vecteur (a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>,a<sub>1</sub>b<sub>2</sub>,a<sub>2</sub>b<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>) de <strong>R</strong><sup>4</sup>, que le produit matriciel est le produit scalaire de (a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>) et de (b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>), qui donne (comme son nom l'indique) un nombre <u>de <strong>R</strong></u>, (a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>).(b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>) = a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>, qu'on peut indifféremment associer à un vecteur (a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>,0) comme à un vecteur (0,a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>) de <strong>R</strong><sup>2</sup> (résultat ambigü, dépendant du choix des axes de coordonnées) ; ça démarre à partir de <strong>R</strong><sup>3</sup>, où le produit "vectoriel" de 2 vecteurs de <strong>R</strong><sup>3</sup> donne effectivement un vecteur de <strong>R</strong><sup>3</sup> ; dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), c'est un produit CONVOLUTIF :<br />
<br />
(1b) (r<sub>0</sub>s<sup>0</sup>).(r<sub>1</sub>s<sup>1</sup>) = (r<sub>0</sub>r<sub>1</sub>)(s<sup>0</sup>.s<sup>1</sup>) = -(r<sub>0</sub>r<sub>1</sub>)(s<sup>1</sup>.s<sup>0</sup>) = (r<sub>0</sub>r<sub>1</sub>)s<sup>2</sup> <br />
<br />
qui combine la multiplication commutative dans <strong>R</strong> avec le produit matriciel dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), qui s'avère être, non plus un produit, mais une SOMME DE PRODUITS :<br />
<br />
(1c) s<sup>3,BC</sup>s<sup>0</sup><sub>AB</sub>s<sup>1</sup><sub>CD</sub> = s<sup>3</sup><sub>BC</sub>s<sup>0</sup><sub>A</sub><sup>B</sup>s<sup>1,C</sup><sub>D</sub> = s<sup>0</sup><sub>A0</sub>s<sup>1</sup><sub>0D</sub> + s<sup>0</sup><sub>A1</sub>s<sup>1</sup><sub>1D</sub> = s<sup>2</sup><sub>AD</sub> <br />
<br />
On conjugue addition et multiplication classiques. Si le groupe additif est "universel", le groupe multiplicatif est SPECIFIQUE à une structure algébrique donnée : la multiplication ne se limite pas à une simple "addition de paquets", comme pour 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Elle n'est plus non plus commutative partout. Aussi, quand on mettra EN INTERACTION des objets physiques évoluant dans des espaces physiques DIFFERENTS, on aura des comportements DIFFERENTS d'un espace physique à l'autre. Par la farce des choses... :)<br />
<br />
Nous en restons donc au produit matriciel dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), qui est celui de son groupe additif. Dans cette algèbre, tout F-nombre M = m<sub>i</sub>s<sup>i</sup> (i = 01,2,3) vérifie les propriétés :<br />
<br />
(2a) M<sup>2</sup> = -Det(M)s<sup>3</sup> + Tr(M)M<br />
<br />
et<br />
<br />
(2b) M<sup>-1</sup> = [Tr(M)s<sup>3</sup> - M]/Det(M)<br />
<br />
Pour les F-nombres de trace nulle :<br />
<br />
(3a) Tr(M) = 0 => M<sup>2n</sup> = [-Det(M)]<sup>n</sup>s<sup>3</sup> , M<sup>2n+1</sup> = [-Det(M)]<sup>n</sup>M<br />
M<sup>-2n</sup> = s<sup>3</sup>/[-Det(M)]<sup>n</sup> , M<sup>-2n-1</sup> = M/[-Det(M)]<sup>n+1</sup> <br />
<br />
Deux cas se distinguent :<br />
<br />
(3b) Det(M) > 0 => M<sup>2n</sup> = (-1)<sup>n</sup>|Det(M)|<sup>n</sup>s<sup>3</sup> , M<sup>2n+1</sup> = (-1)<sup>n</sup>|Det(M)|<sup>n</sup>M<br />
M<sup>-2n</sup> = s<sup>3</sup>/(-1)<sup>n</sup>|Det(M)|<sup>n</sup> , M<sup>-2n-1</sup> = M/(-1)<sup>n+1</sup>|Det(M)|<sup>n+1</sup> <br />
<br />
les puissances entières de M sont alternées ;<br />
<br />
(3c) Det(M) < 0 => M<sup>2n</sup> = |Det(M)|<sup>n</sup>s<sup>3</sup> , M<sup>2n+1</sup> = |Det(M)|<sup>n</sup>M<br />
M<sup>-2n</sup> = s<sup>3</sup>/|Det(M)|<sup>n</sup> , M<sup>-2n-1</sup> = M/|Det(M)|<sup>n+1</sup> <br />
<br />
les puissances entières de M sont monotones.<br />
<br />
Pour les F-nombres non inversibles :<br />
<br />
(4a) Det(M) = 0 => M<sup>n+1</sup> = Tr<sup>n</sup>(M)M<br />
<br />
Et pour les F-nombres non inversibles de trace nulle :<br />
<br />
(4b) Tr(M) = 0 ET Det(M) = 0 => M<sup>n</sup> = 0 pour tout n >= 2.<br />
<br />
Dans le cas général d'un F-nombre inversible de trace non nulle, pour n dans <strong>N</strong>* :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(5a) M<sup>n</sup> = -p<sub>n</sub>[Tr(M),Det(M)]s<sup>3</sup> + q<sub>n</sub>[Tr(M),Det(M)]M<br />
(5b) M<sup>-n</sup> = {q<sub>n+1</sub>[Tr(M),Det(M)]s<sup>3</sup> - q<sub>n</sub>[Tr(M),Det(M)]M}/Det<sup>n</sup>(M)<br />
<br />
avec,<br />
<br />
(5c) q<sub>2n</sub>[Tr(M),Det(M)] = S<sub>k=0</sub><sup>n-1</sup> (-1)<sup>k</sup>C<sub>k</sub><sup>2n-1-k</sup>Det<sup>k</sup>(M)Tr<sup>2n-2k-1</sup>(M)<br />
(5d) q<sub>2n+1</sub>[Tr(M),Det(M)] = S<sub>k=0</sub><sup>n</sup> (-1)<sup>k</sup>C<sub>k</sub><sup>2n-k</sup>Det<sup>k</sup>(M)Tr<sup>2n-2k</sup>(M)<br />
(5e) p<sub>2n+1</sub>[Tr(M),Det(M)] = Det(M)q<sub>2n</sub>[Tr(M),Det(M)]<br />
(5f) p<sub>2n+2</sub>[Tr(M),Det(M)] = Det(M)q<sub>2n+1</sub>[Tr(M),Det(M)]<br />
<br />
et les conditions initiales,<br />
<br />
(5g) p<sub>0</sub>[Tr(M),Det(M)] = -1 , q<sub>0</sub>[Tr(M),Det(M)] = 0<br />
(5h) p<sub>1</sub>[Tr(M),Det(M)] = 0 , q<sub>1</sub>[Tr(M),Det(M)] = 1</span><br />
<br />
Les objets se distinguent très nettement :<br />
<br />
<span style="color:#800080">- les fonctions CLASSIQUES (p<sub>n</sub>,q<sub>n</sub>) : <strong>R</strong><sup>2</sup> -> <strong>R</strong>, polynômiales en les réels CLASSIQUES Tr(M) et Det(M) ;</span><br />
<span style="color:#0000FF">- la F-VARIABLE M ; la fonction QUANTIQUE P<sub>n</sub> : M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) -> M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), M -> P<sub>n</sub>(M) = M<sup>n</sup> qui, à la F-variable M, associe son monôme de degré n entier, <u>TOUJOURS LINEAIRE EN M</u>.</span><br />
<br />
<span style="color:#FF0000">LA NON-LINEARITE EST UN COMPORTEMENT CLASSIQUE QUI N'EXISTE PAS EN QUANTIQUE.</span><br />
<br />
Le prototype des fonctions classiques comme quantiques est le monôme. Dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), celui-ci combine A LA FOIS la linéarité vis-à-vis de la F-variable M (en fait, vis-à-vis des unités fondamentales s<sup>0</sup> et s<sup>1</sup>) et la non-linéarité des réels CLASSIQUES m<sub>i</sub> composant M. Précisons la terminologie :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Un "F-nombre" sera une matrice M<sub>0</sub> = m<sub>0i</sub>s<sup>i</sup> de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) dont <u>TOUS</u> les coefficients seront des constantes classiques.</span><br />
<span style="color:#800080">Une "F-variable" sera une matrice M = m<sub>i</sub>s<sup>i</sup> dont <u>AU MOINS UN</u> des coefficients sera une variable classique.</span><br />
<br />
La notion de variable est un peu la contraposée de celle de constante. En logique : NON TOUS = AU MOINS UN (et non AUCUN - sauf en binaire).<br />
<br />
Quand on passe de <strong>R</strong> à M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), on a des surprises et pas forcément agréables. L'une d'entre elles, bien connue depuis les travaux de Campbell et d'Hausdorff sur les endomorphismes de groupes de transformations continues est qu'en raison de l'anti-commutativité des unités s<sup>0</sup> et s<sup>1</sup>, on PERD la propriété de multiplicativité de l'exponentielle : dans <strong>R</strong>, exp(x + y) = exp(x)exp(y) et [exp(x)]<sup>y</sup> = exp(xy) = exp(yx) = [exp(y)]<sup>x</sup> ; dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), EXP(M + N) N'EST PLUS EGALE au produit matriciel EXP(M).EXP(N) NI MEME A EXP(N).EXP(M). Il en résulte que la fonction logarithme, réciproque de l'exponentielle, PERD SA PROPRIETE D'ADDITIVITé.<br />
<br />
J'ai donc une mauvaise nouvelle à annoncer dès le départ : on ne peut pas étendre comme cela les fonctions élémentaires définies dans <strong>R</strong> à M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) en se contentant de substituer à une variable classique x une variable quantique M. J'ai d'ailleurs rencontré le même problème avec s<sup>0</sup> qu'avec i dans <strong>C</strong>. Ce n'est pas normal et ceci est bel et bien dû à la perte des propriétés multiplicatives des lois de puissances.<br />
<br />
Je l'ai rappelé plus haut : contrairement à l'addition/soustraction, la multiplication est SPECIFIQUE à une structure algébrique... Rien que exp(M.N) = exp(N.M) n'est plus valable dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) que ssi M et N commutent... Or, on a BESOIN d'établir un mode de calcul d'élévation d'un F-nombre à la puissance d'un autre F-nombre pour pouvoir compléter le tableau des opérations arithmétiques dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). Et ça ne se fait pas comme ça...<br />
<br />
<br />
B 193 : CALCUL DANS M2(R) : INTRODUCTIONB 192 : IL SUBSISTE UN PROBLEME AVEC C !!!
http://doclabidouille.blogs.fr/index.html#a641048
Je n'ai rien publié jusqu'ici parce que je n'ai rien trouvé d'intéressant... Par contre, j'ai fini par relever quelque chose qui fait persister le problème de construction de <strong>C</strong>... Dans B 182, la formule de de Moivre (8d), où j'ai d'ailleurs omis de lever l'indice n de puissance avant publication et qui s'écrit donc, plus correctement,<br />
<br />
(e<sup>x</sup>)<sup>i^n</sup> = ch(i<sup>n</sup>x) + sh(i<sup>n</sup>x) = [ch(x) + sh(x)]<sup>i^n</sup> , n dans <strong>Z</strong>,<br />
<br />
continue de souffrir du cycle des puissances entières de i, [B182, (7a à e)]... :<br />
<br />
n = 0 => e<sup>x</sup> = ch(x) + sh(x)<br />
n = 1 => (e<sup>x</sup>)<sup>i</sup> = ch(ix) + sh(ix) = [ch(x) + sh(x)]<sup>i</sup> = cos(x) + isin(x)<br />
n = 2 => (e<sup>x</sup>)<sup>-1</sup> = ch(-x) + sh(-x) = [ch(x) + sh(x)]<sup>-1</sup> = e<sup>-x</sup> <br />
n = 3 => (e<sup>x</sup>)<sup>-i</sup> = ch(-ix) + sh(-ix) = [ch(x) + sh(x)]<sup>-i</sup> = cos(x) - isin(x)<br />
n = 4 => (e<sup>x</sup>)<sup>1</sup> = ch(x) + sh(x) = [ch(x) + sh(x)]<sup>1</sup> = e<sup>x</sup> <br />
<br />
etc. Par conséquent, pour x = pi/2 :<br />
<br />
e<sup>pi/2</sup> = ch(pi/2) + sh(pi/2) , (e<sup>pi/2</sup>)<sup>i</sup> = i , (e<sup>pi/2</sup>)<sup>-1</sup> = e<sup>-pi/2</sup> , (e<sup>pi/2</sup>)<sup>-i</sup> = -i<br />
<br />
et le cycle recommence. J'ai bien (e<sup>pi/2</sup>)<sup>-1</sup> = [(e<sup>pi/2</sup>)<sup>i</sup>]<sup>i</sup> = i<sup>i</sup> = e<sup>-pi/2</sup> mais, si j'élève ce résultat à des puissances entières, j'obtiens :<br />
<br />
(e<sup>-pi/2</sup>)<sup>2</sup> = e<sup>-pi</sup> = (i<sup>i</sup>)<sup>2</sup> = (i<sup>2</sup>)<sup>i</sup> = (-1)<sup>i</sup> <br />
(e<sup>-pi/2</sup>)<sup>3</sup> = e<sup>-3pi/2</sup> = (i<sup>i</sup>)<sup>3</sup> = (i<sup>3</sup>)<sup>i</sup> = (-i)<sup>i</sup> = (-1)<sup>i</sup>i<sup>i</sup> <br />
(e<sup>-pi/2</sup>)<sup>4</sup> = e<sup>-2pi</sup> = (i<sup>i</sup>)<sup>4</sup> = (i<sup>4</sup>)<sup>i</sup> = 1<sup>i</sup> <br />
<span style="color:#FF0000">(e<sup>-pi/2</sup>)<sup>5</sup> = e<sup>-5pi/2</sup> = (i<sup>i</sup>)<sup>5</sup> = (i<sup>5</sup>)<sup>i</sup> = i<sup>i</sup> = (i<sup>4</sup>i)<sup>i</sup> = 1<sup>i</sup>i<sup>i</sup> = e<sup>-pi/2</sup>...</span><br />
<br />
Ceci, parce que j'ai étendu la loi (x<sup>y</sup>)<sup>z</sup> = (x<sup>z</sup>)<sup>y</sup> = x<sup>yz</sup> = x<sup>zy</sup>, conçue pour les nombres réels, aux nombres complexes. Donc, soit cette loi ne s'applique plus aux nombres complexes, soit je retrouve un problème de construction de <strong>C</strong>, cette fois, sous la forme 1<sup>i</sup> = e<sup>-2pi</sup> = 1...<br />
<br />
J'ai l'impression que la théorie des nombres complexes nous a TOUS foutu dedans, quelque chose de bien... Je ne critique pas l'idée de départ : à l'époque de Cardan, on n'avait aucune notion des "hyper-nombres" (les matrices). Il fallait résoudre l'équation cubique "avec les moyens du bord" et c'est ce qui l'a conduit à INVENTER un "nombre" non réel, dont le carré valait -1. On s'est rapidement rendu compte que ce "i" était associé à des comportements OSCILLANTS. On s'est mis à représenter ces comportements mécaniques par ces "nombres complexes" et ça a atteint son apogée avec la "théorie des quanta". C'est tout.<br />
<br />
Je ne peux pas faire comme si je n'avais rien décelé. Ce n'est pas une bonne approche. Ce n'est pas de la recherche scientifique honnête. Je vais donc en revenir aux structures réelles qui, elles, ne présentent pas ces inconvénients.<br />
<br />
Mais, bon... QUE DE TEMPS PERDU ET "D'ALLERS-RETOURS" !... :(<br />
B 192 : IL SUBSISTE UN PROBLEME AVEC C !!!B 191 : M2(C), introduction
http://doclabidouille.blogs.fr/index.html#a640735
A l'instar de ce que nous avions noté dans B187 au sujet de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), l'algèbre M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>) des matrices 2x2 à coefficients <em>complexes</em> est plus vaste que l'espace quantique <strong>C</strong><sup>4</sup>. Nous allons donc commencer par apporter des compléments à M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) qui ne figurent pas dans cette algèbre, mais dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>). C'est essentiellement relatif aux puissances <em>fractionnaires</em> des unités s<sup>1</sup> et s<sup>0</sup>. On note tout de suite une circonstance fort générale : toute matrice de la forme,<br />
<br />
M = as<sup>0</sup> + bs<sup>1</sup> + c(s<sup>1</sup>)²<br />
<br />
a pour carré,<br />
<br />
M² = 2acs<sup>0</sup> + 2bcs<sup>1</sup> + (b² + c² - a²)(s<sup>1</sup>)²<br />
<br />
étant donné que s<sup>0</sup> et s<sup>1</sup> anti-commutent. Par conséquent, on ne pourra avoir M² = s<sup>1</sup> (resp. s<sup>0</sup>) que ssi a = 0 (resp. b = 0) et b² + c² = 0 (resp. c² - a² = 0). Autrement dit :<br />
<br />
(1a) M<sup>n</sup> = s<sup>1</sup> => M = a<sub>n</sub>(s<sup>1</sup>)² + b<sub>n</sub>s<sup>1</sup> <br />
(1b) M<sup>n</sup> = s<sup>0</sup> => M = a<sub>n</sub>(s<sup>1</sup>)² + b<sub>n</sub>s<sup>0</sup> <br />
<br />
pour tout n dans <strong>N</strong>*, avec a<sub>n</sub> et b<sub>n</sub> dans <strong>C</strong>. Toute autre combinaison ferait apparaître s<sup>0</sup> dans (1a) et s<sup>1</sup> dans (1b), en raison du fait que (s<sup>0</sup>)² = -(s<sup>1</sup>)² => (s<sup>0</sup>)<sup>3</sup> = -s<sup>0</sup> et (s<sup>0</sup>)²s<sup>1</sup> = -s<sup>1</sup>.<br />
<br />
On démarre avec les racines n-ièmes de s<sup>1</sup>. On a :<br />
<br />
M<sub>n</sub> = a<sub>n</sub>(s<sup>1</sup>)² + b<sub>n</sub>s<sup>1</sup> => M<sub>n</sub><sup>n</sup> = S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> C<sub>p</sub><sup>n</sup>a<sub>n</sub><sup>n-p</sup>b<sub>n</sub><sup>p</sup>(s<sup>1</sup>)<sup>p</sup> <br />
<br />
M<sub>2n</sub><sup>2n</sup> = S<sub>p=0</sub><sup>2n</sup> C<sub>p</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-p</sup>b<sub>2n</sub><sup>p</sup>(s<sup>1</sup>)<sup>p</sup> = [S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> C<sub>2p</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p</sup>b<sub>2n</sub><sup>2p</sup>](s<sup>1</sup>)² +<br />
+ [S<sub>p=0</sub><sup>n-1</sup> C<sub>2p+1</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p-1</sup>b<sub>2n</sub><sup>2p+1</sup>]s<sup>1</sup> <br />
= ½ [(a<sub>2n</sub> + b<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup> + (a<sub>2n</sub> - b<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup>](s<sup>1</sup>)² + ½ [(a<sub>2n</sub> + b<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup> - (a<sub>2n</sub> - b<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup>]s<sup>1</sup> <br />
<br />
M<sub>2n+1</sub><sup>2n+1</sup> = S<sub>p=0</sub><sup>2n+1</sup> C<sub>p</sub><sup>2n+1</sup>a<sub>2n+1</sub><sup>2n+1-p</sup>b<sub>2n+1</sub><sup>p</sup>(s<sup>1</sup>)<sup>p</sup> <br />
= [S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> C<sub>2p</sub><sup>2n+1</sup>a<sub>2n+1</sub><sup>2n+1-2p</sup>b<sub>2n+1</sub><sup>2p</sup>](s<sup>1</sup>)² +<br />
+ [S<sub>p=0</sub><sup>n-1</sup> C<sub>2p+1</sub><sup>2n+1</sup>a<sub>2n+1</sub><sup>2n-2p</sup>b<sub>2n+1</sub><sup>2p+1</sup>]s<sup>1</sup> <br />
= ½ [(a<sub>2n+1</sub> + b<sub>2n+1</sub>)<sup>2n+1</sup> + (a<sub>2n+1</sub> - b<sub>2n+1</sub>)<sup>2n+1</sup>](s<sup>1</sup>)² +<br />
+ ½ [(a<sub>2n+1</sub> + b<sub>2n+1</sub>)<sup>2n+1</sup> - (a<sub>2n+1</sub> - b<sub>2n+1</sub>)<sup>2n+1</sup>]s<sup>1</sup> <br />
<br />
soit,<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1c) M<sub>n</sub><sup>n</sup> = ½ [(a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> + (a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)<sup>n</sup>](s<sup>1</sup>)² + ½ [(a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> - (a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)<sup>n</sup>]s<sup>1</sup> </span><br />
<br />
Pour avoir M<sub>n</sub><sup>n</sup> = s<sup>1</sup>, il faut donc que :<br />
<br />
(a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = -(a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> et (a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = (a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> + 2<br />
<br />
c'est-à-dire,<br />
<br />
(a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = 1 et (a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = -1<br />
<br />
Il en découle,<br />
<br />
a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub> = e<sup>2ipi/n</sup> et a<sub>n</sub> - b<sub>n</sub> = e<sup>ipi/n</sup> <br />
<br />
Par conséquent :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1d) (s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup> = ½ [(e<sup>2ipi/n</sup> + e<sup>ipi/n</sup>)(s<sup>1</sup>)² + (e<sup>2ipi/n</sup> - e<sup>ipi/n</sup>)s<sup>1</sup>]</span><br />
<span style="color:#0000FF">(1e) Tr[(s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup>] = e<sup>2ipi/n</sup> + e<sup>ipi/n</sup> , Det[(s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup>] = e<sup>3ipi/n</sup> , Diag[(s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup>] = (e<sup>2ipi/n</sup>,0,0,e<sup>ipi/n</sup>)</span><br />
<br />
Pour n = 1, on retrouve bien Tr(s<sup>1</sup>) = 0, Det(s<sup>1</sup>) = -1 et Diag(s<sup>1</sup>) = s<sup>2</sup>. Pour n = 2, on trouve :<br />
<br />
(1f) (s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup> = -½ [(1 - i)(s<sup>1</sup>)² + (1 + i)s<sup>1</sup>]<br />
Tr[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>] = -(1 - i) , Det[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>] = -i , Diag[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>] = (-1,0,0,i)<br />
(1g) <span style="color:#0000FF">[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>]* = -½ [(1 + i)(s<sup>1</sup>)² + (1 - i)s<sup>1</sup>] = (s<sup>1</sup>)<sup>3/2</sup></span> <br />
Tr{[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>]*} = -(1 + i) , Det{[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>]*} = -i , Diag{[(s<sup>1</sup>)<sup>1/2</sup>]*} = -(1,0,0,i)<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Les diagonalisées de la racine carrée de s<sup>1</sup> et de sa conjuguée redonnent, au signe près, les unités de <strong>C</strong>.</span><br />
<br />
A comparer à 1<sup>1/2</sup> = +/-1 chez les réels. Les matrices (1d) étant toutes inversibles,<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1h) (s<sup>1</sup>)<sup>-1/n</sup> = [(e<sup>2ipi/n</sup> + e<sup>ipi/n</sup>)(s<sup>1</sup>)² - (e<sup>2ipi/n</sup> - e<sup>ipi/n</sup>)s<sup>1</sup>]/2e<sup>3ipi/n</sup> <br />
= ½ [(e<sup>-2ipi/n</sup> + e<sup>-ipi/n</sup>)(s<sup>1</sup>)² + (e<sup>-2ipi/n</sup> - e<sup>-ipi/n</sup>)s<sup>1</sup>]<br />
= [(s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup>]*</span><br />
<br />
Pour les racines n-ièmes de s<sup>0</sup> :<br />
<br />
M<sub>2n</sub><sup>2n</sup> = S<sub>p=0</sub><sup>2n</sup> C<sub>p</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-p</sup>b<sub>2n</sub><sup>p</sup>(s<sup>0</sup>)<sup>p</sup> = [S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> C<sub>2p</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p</sup>(-1)<sup>p</sup>b<sub>2n</sub><sup>2p</sup>](s<sup>1</sup>)² +<br />
+ [S<sub>p=0</sub><sup>n-1</sup> C<sub>2p+1</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p-1</sup>(-1)<sup>p</sup>b<sub>2n</sub><sup>2p+1</sup>]s<sup>0</sup> <br />
= [S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> C<sub>2p</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p</sup>(ib<sub>2n</sub>)<sup>2p</sup>](s<sup>1</sup>)² - i[S<sub>p=0</sub><sup>n-1</sup> C<sub>2p+1</sub><sup>2n</sup>a<sub>2n</sub><sup>2n-2p-1</sup>(ib<sub>2n</sub>)<sup>2p+1</sup>]s<sup>0</sup> <br />
= ½ [(a<sub>2n</sub> + ib<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup> + (a<sub>2n</sub> - ib<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup>](s<sup>1</sup>)² - ½ i[(a<sub>2n</sub> + ib<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup> - (a<sub>2n</sub> - ib<sub>2n</sub>)<sup>2n</sup>]s<sup>0</sup> <br />
<br />
Idem pour M<sub>2n+1</sub><sup>2n+1</sup>. Donc :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2a) M<sub>n</sub><sup>n</sup> = ½ [(a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> + (a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup>](s<sup>1</sup>)² - ½ i[(a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> - (a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup>]s<sup>0</sup> </span><br />
<br />
Pour avoir M<sub>n</sub><sup>n</sup> = s<sup>0</sup>, il faut, cette fois, que :<br />
<br />
(a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = -(a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> et (a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = (a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> + 2i<br />
<br />
c'est-à-dire,<br />
<br />
(a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = i et (a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub>)<sup>n</sup> = -i<br />
<br />
Il en découle,<br />
<br />
a<sub>n</sub> + ib<sub>n</sub> = e<sup>ipi/2n</sup> et a<sub>n</sub> - ib<sub>n</sub> = e<sup>-ipi/2n</sup> <br />
<br />
En conséquence :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2b) (s<sup>0</sup>)<sup>1/n</sup> = ½ [(e<sup>ipi/2n</sup> + e<sup>-ipi/2n</sup>)(s<sup>1</sup>)² - i(e<sup>ipi/2n</sup> - e<sup>-ipi/2n</sup>)s<sup>0</sup>]<br />
= cos(pi/2n)(s<sup>1</sup>)² + sin(pi/2n)s<sup>0</sup> </span><br />
<span style="color:#0000FF">(2c) Tr[(s<sup>0</sup>)<sup>1/n</sup>] = 2cos(pi/2n) , Det[(s<sup>0</sup>)<sup>1/n</sup>] = 1 , Diag[(s<sup>0</sup>)<sup>1/n</sup>] = (e<sup>ipi/2n</sup>,0,0,e<sup>-ipi/2n</sup>)</span><br />
<br />
Contrairement aux racines de s<sup>1</sup>, qui sont toutes dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>), celles de s<sup>0</sup> restent toutes dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). Assez pittoresque de constater que (s<sup>1</sup>)<sup>1/n</sup> est complexe dès n = 2, alors que s1 joue le rôle de 1 dans <strong>R</strong>, tandis que (s<sup>0</sup>)<sup>1/n</sup> reste réelle, alors que s<sup>0</sup> joue le rôle de i dans <strong>C</strong>. On note également que <u>toutes</u> les racines entières de s<sup>0</sup> ont déterminant +1. Leurs inverses sont donc :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2d) (s<sup>0</sup>)<sup>-1/n</sup> = cos(pi/2n)(s<sup>1</sup>)² - sin(pi/2n)s<sup>0</sup> </span><br />
<br />
Soit maintenant e<sub>A</sub> le covecteur de composantes (1,i). Si x est une quantité complexe, alors x = e<sub>A</sub>x<sup>A</sup> = x<sup>0</sup> + ix<sup>1</sup> et on a :<br />
<br />
x² = e<sub>A</sub>e<sub>B</sub>x<sup>A</sup>x<sup>B</sup> = (s<sup>2</sup><sub>AB</sub> + is<sup>1</sup><sub>AB</sub>)x<sup>A</sup>x<sup>B</sup> <br />
|x|² = e<sub>A</sub>e*<sub>B</sub>x<sup>A</sup>x<sup>B</sup> = (s<sup>3</sup><sub>AB</sub> - is<sup>0</sup><sub>AB</sub>)x<sup>A</sup>x<sup>B</sup> = s<sup>3</sup><sub>AB</sub>x<sup>A</sup>x<sup>B</sup> <br />
<br />
par antisymétrie de s<sup>0</sup>, qui montre que,<br />
<br />
(3a) e<sub>A</sub>e<sub>B</sub> = s<sup>2</sup><sub>AB</sub> + is<sup>1</sup><sub>AB</sub> , e<sub>A</sub>e*<sub>B</sub> = s<sup>3</sup><sub>AB</sub> - is<sup>0</sup><sub>AB</sub> <br />
<br />
Le covecteur e<sub>A</sub> est donc isotrope et d'amplitude 2<sup>½</sup> :<br />
<br />
(3b) s<sub>3</sub><sup>AB</sup>e<sub>A</sub>e<sub>B</sub> = e<sub>A</sub>e<sup>A</sup> = 0 , s<sub>3</sub><sup>AB</sup>e<sub>A</sub>e*<sub>B</sub> = e<sub>A</sub>e*<sup>A</sup> = 2<br />
<br />
Une position dans <strong>C</strong><sup>4</sup> peut donc être répertoriée par :<br />
<br />
(3c) x<sup>i</sup> = e<sub>C</sub>x<sup>Ci</sup> = 2<sup>-½</sup>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>x<sup>AB</sup> = 2<sup>-½</sup>e<sub>C</sub>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>x<sup>C,AB</sup> <br />
<br />
avec les x<sup>Ci</sup> réels et les x<sup>C,AB</sup> dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) x<sub>c</sub> M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). Il en résulte que :<br />
<br />
(3d) x<sup>AB</sup> = e<sub>C</sub>x<sup>C,AB</sup> <br />
<br />
est une position dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>). La structure de cette algèbre est néanmoins plus riche que celle de <strong>C</strong><sup>4</sup>, d'une part, parce que la matrice position [x] possède deux invariants (sa trace et son déterminant, tous deux a priori complexes) et, d'autre part, que le produit holoriel est beaucoup plus général que le produit de nombres (qu'il soit réel ou même complexe). On a, de ce fait, tout intérêt à s'immerger dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>) plutôt que dans <strong>C</strong><sup>4</sup> pour analyser la situation avec plus d'acuité. En effet :<br />
<br />
(3e) x<sup>AB</sup>x<sub>BC</sub> = (x²)<sup>A</sup><sub>C</sub> = e<sub>D</sub>e<sup>E</sup>x<sup>D,AB</sup>x<sub>E,BC</sub> = (s<sup>2</sup> + is<sup>1</sup>)<sub>D</sub><sup>E</sup>x<sup>D,AB</sup>x<sub>E,BC</sub> <br />
<br />
ne donne déjà plus un unique carré complexe, mais une <em>matrice</em> de carrés complexes. En développant les matrices position [x<sup>C</sup>] sur la base des unités de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>),<br />
<br />
[x<sup>C</sup>] = a<sup>C</sup>s<sup>0</sup> + b<sup>C</sup>s<sup>1</sup> + c<sup>C</sup>s<sup>0</sup>s<sup>1</sup> + d<sup>C</sup>(s<sup>1</sup>)²<br />
<br />
on aura,<br />
<br />
[x] = as<sup>0</sup> + bs<sup>1</sup> + cs<sup>0</sup>s<sup>1</sup> + d(s<sup>1</sup>)²<br />
<br />
avec a = e<sub>C</sub>a<sup>C</sup>, b = e<sub>C</sub>b<sup>C</sup>, c = e<sub>C</sub>c<sup>C</sup> et d = e<sub>C</sub>d<sup>C</sup> dans <strong>C</strong>, d'où, déjà :<br />
<br />
(3f) [x]² = (-a² + b² + c² + d²)(s<sup>1</sup>)² + c(2d - a)s<sup>0</sup>s<sup>1</sup> + (2bd - ac)s<sup>1</sup> + 2ads<sup>0</sup> <br />
(3g) Tr([x]²) = 2(-a² + b² + c² + d²) = 2[(ia)² + b² + c² + d²]<br />
<br />
Ensuite, on utilise la propriété des invariants de matrices 2x2,<br />
<br />
Tr([x]²) = Tr²([x]) - 2Det([x]) => Det([x]) = ½ {Tr²([x]) - Tr([x]²)}<br />
<br />
pour obtenir directement :<br />
<br />
(3h) Det([x]) = a² + d² - (b² + c²) et Det([x]²) = Det²([x]).<br />
<br />
Ainsi, en place du carré invariant complexe x<sup>i</sup>x<sub>i</sub> dans <strong>C</strong><sup>4</sup> se retrouve-t-on avec (3g) + (3h). Un gain notable d'informations géométriques, complètement masquées dans <strong>C</strong><sup>4</sup>.<br />
<br />
L'intérêt des "sous-structures" spinorielles... :)<br />
<br />
Le fait d'avoir affaire à des coefficients matriciels complexes permet d'identifier -a² au carré du a déphasé de pi/2 radians. Plus besoin de distinction entre un "genre espace" et un "genre temps". Quant à Det²([x]), il est généralement complexe et n'a donc, à ce titre, plus aucune raison d'être >= 0.<br />
<br />
On s'aperçoit également d'autre chose. Dans <strong>C</strong><sup>4</sup>, le produit x<sup>i</sup>x*<sub>i</sub> donne l'impression que l'amplitude du vecteur x est réelle, puisque son carré est somme de 4 carrés d'amplitudes. Dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>), en revanche, le produit contracté de la matrice [x] avec sa conjuguée [x*] = [x]* est généralement complexe et, même si l'on ne retient que la partie réelle de ce produit pour définir "le carré de la matrice amplitude" [|x|]² = ½ ([x][x*] + [x*][x]), la "matrice amplitude" [|x|] = ([|x|]²)<sup>½</sup>, racine carrée de [|x|]², <em>reste généralement complexe</em> : l'exemple de s<sup>1</sup> est caractéristique. Ainsi :<br />
<br />
<span style="color:#800080">Dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>), les amplitudes quantiques sont quantiques.</span><br />
<br />
Ce constat remet complètement en cause la notion "d'amplitude". <strong>C</strong><sup>4</sup> donne une fausse idée de la chose : la représentation vectorielle dit "|x|² = Id<sub>ij</sub>x<sup>i</sup>x*<sup>j</sup> >= 0, donc |x| est réelle, en raison du fait que <strong>C</strong><sup>4</sup> est euclidien", la représentation matricielle dit le contraire. Il ne sert donc plus à rien d'essayer de passer en "diagrammes amplitudes - phases", ça ne fera que compliquer les calculs, vu que le produit holoriel est une <em>somme</em> de composantes. A noter qu'en plus de [|x|]², on a encore, dans M<sub>2</sub>(<strong>C</strong>), le commutateur ½ ([x][x*] - [x*][x]) de [x] et de sa conjuguée, qui n'a aucune raison d'être nul en général et qui apporte une information supplémentaire qui n'apparait évidemment pas dans <strong>C</strong><sup>4</sup>.<br />
<br />
Je ne vais pas m'apesantir plus longuement sur ces aspects, ça ferait un trop long article. Nous allons plutôt passer à la première application de ces résultats.B 191 : M2(C), introductionB 190 : Les EMIs NE SONT PAS des simulations.
http://doclabidouille.blogs.fr/index.html#a640575
Non. Et ce qui me permet d'être aussi affirmatif, c'est que ce n'est pas ce que nous disent, ni les mathématiques, ni la physique. Les physiciens le savent très bien. Même s'ils se sont par la suite spécialisés en bio- et neuro-physique, le tronc commun comporte quand même l'étude de la physique quantique.<br />
<br />
Je suis d'accord avec celles et ceux qui réfutent l'idée de se faire taxer de "matérialisme". Cessons ce schisme. C'est un faux débat. Que l'on soit médecin réanimateur, spécialiste du comportement ou "spiritualiste", nous sommes tous d'accord sur les FAITS CLINIQUES. C'est sur leur INTERPRETATION que nous divergeons : les "matérialistes" estiment qu'en recréant les conditions d'une EMI "naturelle", on démontre que les "constantes universelles" ne sont que des "productions fantasmagoriques" d'un cerveau placé en conditions "toxiques" et n'ont aucune réalité autre que celles d'objets mentaux fruits de l'imagination du patient. En d'autres termes, que l'EMI se résume à un ensemble de processus BIOLOGIQUES de type "TOXICOLOGIQUE". Les "spiritualistes" rétorquent que non, c'est, au contraire, l'ouverture sur "un autre monde".<br />
<br />
Je suis désolé, mais ce sont bel et bien les "spiritualistes" qui ont raison : quand vous replacez le SNC en situation d'EMI, vous le REOUVREZ sur le "monde quantique". Et, en pensant autrement, vous risquez de passer à côté de quelque chose d'essentiel.<br />
<br />
On va reprendre les principes de la physique des ondes.<br />
<br />
Lorsque vous superposez un nombre quelconque d'ondes :<br />
<br />
(1) x<sub>n</sub>(ksi<sub>0</sub>) = |x|<sub>n</sub>exp(inksi<sub>0</sub>)<br />
<br />
où n est un entier signé et ksi<sub>0</sub> une phase, vous obtenez une onde résultante,<br />
<br />
(2) [x(ksi<sub>0</sub>)][ksi(ksi<sub>0</sub>)] = |x|(ksi<sub>0</sub>)exp[iksi(ksi<sub>0</sub>)] = S<sub>n</sub> x<sub>n</sub>(ksi<sub>0</sub>)<br />
<br />
dont l'amplitude est donnée par,<br />
<br />
(3) |x|²(ksi<sub>0</sub>) = S<sub>n</sub>S<sub>n'</sub> |x|<sub>n</sub>exp(inksi<sub>0</sub>)|x|<sub>n'</sub>exp(-in'ksi<sub>0</sub>)<br />
= S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² + 2S<sub>n</sub>S<sub>n'<>n</sub> |x|<sub>n</sub>|x|<sub>n'</sub>cos[(n - n')ksi<sub>0</sub>]<br />
<br />
et la phase, par<br />
<br />
(4) tan[ksi(ksi<sub>0</sub>)] = [S<sub>n</sub> |x|<sub>n</sub>sin(nksi<sub>0</sub>)]/[S<sub>n</sub> |x|<sub>n</sub>cos(nksi<sub>0</sub>)]<br />
<br />
Amplitude et phase varient suivant la valeur donnée à la phase initiale ksi<sub>0</sub>. Au niveau de l'amplitude résultante apparaissent des interférences de nature ondulatoire. Au niveau de la phase résultante, on constate un effet de <em>distortion</em>.<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Ça, ce sont des résultats LOCAUX, établis pour CHAQUE valeur de ksi<sub>0</sub>. C'est-à-dire que leur domaine de validité est MICROSCOPIQUE.</span><br />
<br />
Mais, si vous prenez LA MOYENNE de (3) sur un tour complet de cercle, vous obtenez un nombre <em>indépendant de </em>ksi<sub>0</sub>, autrement dit, une "constante topologique" :<br />
<br />
(5) (2pi)<sup>-1</sup>S<sub>0</sub><sup>2pi</sup> |x|²(ksi<sub>0</sub>)dksi<sub>0</sub> =<br />
= (2pi)<sup>-1</sup>S<sub>0</sub><sup>2pi</sup> {S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² + 2S<sub>n</sub>S<sub>n'</sub> |x|<sub>n</sub>|x|<sub>n'</sub>cos[(n - n')ksi<sub>0</sub>]}dksi<sub>0</sub> <br />
= S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² + 2(2pi)<sup>-1</sup>S<sub>0</sub><sup>2pi</sup> {S<sub>n</sub>S<sub>n'</sub> |x|<sub>n</sub>|x|<sub>n'</sub>cos[(n - n')ksi<sub>0</sub>]}dksi<sub>0</sub> <br />
= S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² + 2(2pi)<sup>-1</sup>{S<sub>n</sub>S<sub>n'</sub> |x|<sub>n</sub>|x|<sub>n'</sub>sin[(n - n')ksi<sub>0</sub>]/(n - n')}<sub>0</sub><sup>2pi</sup> <br />
= S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² = < |x|²(ksi<sub>0</sub>) > = |x|²<br />
<br />
et les termes d'interférence DISPARAISSENT parce qu'ils se détruisent alors mutuellement.<br />
<br />
<span style="color:#800080">Voilà un résultat GLOBAL, établi POUR TOUTES LES VALEURS DE ksi<sub>0</sub> et dont le domaine de validité est MACROSCOPIQUE.</span><br />
<br />
Tout cela est bien connu des physiciens depuis près de deux siècles et a même donné lieu à une méthode, celle dite de la théorie du champ moyen. Une méthode d'ailleurs considérée comme "approximative" au sens où elle ne tient pas compte des fluctuations (des changements) <em>autour</em> de la valeur moyenne.<br />
<br />
Pourquoi serait-elle "approximative" ? On en vient à notre propos : parce que, tant qu'un système physique est en mode de fonctionnement "normal", "nominal", le modèle se justifie ; par contre, lorsqu'il se retrouve en mode "anormal", des EFFETS DE COHERENCE apparaissent, qui AMPLIFIENT les fluctuations et les TRANSFERENT du niveau microscopique au niveau MACROSCOPIQUE. Là, le modèle de champ moyen TOMBE EN DEFAUT. C'est normal.<br />
<br />
C'est de la physique statistique bien connue depuis Boltzmann : là non plus, rien de nouveau. Les ondes, qui se trouvent au départ distribuées de manière totalement aléatoire ("incohérente"), prennent une "orientation" commune déterminée, c'est la "cohérence d'états".<br />
<br />
Le fait est qu'à l'échelle microscopique, |x|(ksi<sub>0</sub>) ne représente que <em>l'amplitude</em> du signal résultant en chaque valeur de la phase initiale. A proprement parler, CE N'EST PAS CE QUI EST MESURABLE. Ce qui est mesurable, c'est <em>l'intensité</em> du signal résultant et elle est donné par (5). D'ailleurs, le praticien se fiche de connaître l'ensemble des fluctuations d'un signal, ce qui l'intéresse avant tout, c'est sont intensité. La tendance <em>moyenne</em> de toutes ses amplitudes. Il ne commencera à s'intéresser aux fluctuations elles-mêmes que lorsque celles-ci se mettront à adopter un comportement <em>collectif</em>. Tant qu'elles restent au niveau microscopique, elles sont négligeables.<br />
<br />
Quel est le lien avec notre propos ?<br />
<br />
Ça me paraît clair : tant que vous allez analyser l'activité cérébrale d'un patient en conditions <em>normales</em> de fonctionnement, vous n'allez trouver que du "classique". Statistique, peut-être, mais classique. Les rythmes cérébraux n'ont rien à voir là-dedans. Ils ne font que traduire, macroscopiquement, un mode d'activité cérébrale. C'est justement <em>dans ce cadre-là</em> que vous pourrez parler "d'effets hallucinatoires" en rythmes alpha ou thêta. Mais, dès que vous allez reproduire les conditions d'une EMI, en <em>abaissant</em> la température corporelle, en <em>ralentissant</em> le pouls, en plaçant le patient en état d'oxygènation raréfiée ou d'hypo-glycémie sévère, vous allez <em>forcer</em> le SNC à adopter un comportement CRITIQUE, vous allez le sortir de ses conditions normales de fonctionnement. Si le patient se trouve en arrête cardio-respiratoire, ses rythmes cérébraux vont S'ESTOMPER jusqu'à DISPARAITRE : donc, ils ne peuvent pas être en cause...<br />
<br />
Alors, que va-t-il se passer ?<br />
<br />
Ce que nous disent les mathématiques, c'est que l'animal n'est pas plongé dans un espace classique <strong>R</strong><sup>4</sup> de dimension 4, mais dans un espace QUANTIQUE <strong>C</strong><sup>4</sup>, de même dimension. Et je vais même vous en apporter une preuve supplémentaire.<br />
<br />
Dans les espaces physiques de spins <em>demi</em>-entiers, comme <strong>C</strong><sup>2</sup>, <strong>C</strong><sup>8</sup>,... les points de l'espace obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et ne peuvent donc former un continuum que si ET SEULEMENT SI ils peuvent s'associer en PAIRES DE COOPER : ces espaces doivent reproduire les conditions des "superfluides". Deux points voisins, considérés comme des "particules d'espace" doivent se trouver EN OPPOSITION DE SPIN pour pouvoir s'associer et reproduire une "particule de Bose". Ensuite, pour AGGLOMERER ces "paires de Cooper", il faut des conditions drastiques : température ambiante extrêmement proche du 0 Kelvin, pressions cosmologiques gigantesques, des conditions de ce genre. Seules de pareilles conditions peuvent permettre de créer des COHERENCES D'ETATS et créer un continuum spatial. Sinon, ces espaces restent DISCONTINUS.<br />
<br />
Tout le contraire se passe pour les espaces de spin ENTIERS, comme <strong>C</strong><sup>4</sup>, <strong>C</strong><sup>16</sup>,... qui, eux, obéissent à la statistique de Bose-Einstein et n'ont pas besoin de telles conditions pour former NATURELLEMENT des continuums spatiaux, par "condensation de Bose". Or, <strong>C</strong><sup>4</sup> est de spin 1, au contraire de <strong>R</strong><sup>4</sup>, qui est isomorphe à <strong>C</strong><sup>2</sup> et donc, de spin ½. Ainsi, si l'on tient compte du "spin universel", comme les mathématiques ET la physique nous invitent très fortement à le faire, on se rend compte que l'espace <em>classique</em> à 4 dimensions serait DISCONTINU, sauf s'il était soumis à des conditions démentielles. Et seulement sous de telles conditions pourrait apparaître un continuum A GRANDE ECHELLE. Ce n'est clairement pas ce que l'on peut observer tout autour de nous : il faudrait procéder par SAUTS pour se rendre d'un point à un autre... ce n'est pas le cas.<br />
<br />
Ce qui se produit, en réalité, c'est que la structure <strong>C</strong><sup>4</sup> est MICROSCOPIQUE : LOCALEMENT, vous avez des diagrammes amplitudes - phases. Et c'est d'ailleurs ce que prônait la "mécanique ondulatoire" avant la découverte des états cohérents : que la théorie des quanta AFFINERAIT les résultats établis en physique classique, en précisant le fonctionnement des systèmes au niveau MICROSCOPIQUE. C'est surtout la découverte du laser, issue des travaux théoriques d'Einstein sur le rayonnement de photons (1905), qui a fait apparaître cette notion "d'états cohérents". GLOBALEMENT, on constate que <strong>C</strong><sup>4</sup> SE REDUIT A <strong>R</strong><sup>4</sup>, parce que les interférences ondulatoires S'AUTO-DETRUISENT. C'est encore et toujours, sous de multiples versions, le fameux problème de "l'effrondrement du paquet d'ondes", la "réduction de la mesure quantique".<br />
<br />
Par conséquent, si les effets quantiques sont perceptibles AU NIVEAU DE LA CELLULE NERVEUSE, ils disparaissent AU NIVEAU DU SNC. Une première "salve auto-destructrice" se produit au niveau du groupe de neurones, elle s'accentue au niveau supérieur de l'assemblée de neurones pour disparaître totalement à l'échelle du cerveau et, a fortiori, du système nerveux dans son ensemble (cerveau + système moteur).<br />
<br />
<span style="color:#FF0000">C'EST L'INTER-CONNEXION DES NEURONES QUI DETRUIT LES INTERFERENCES.</span><br />
<br />
Et cela pourrait expliquer pourquoi les enfants semblent plus "réceptifs" aux phénomènes dits "paranormaux".<br />
<br />
On sait très bien que les enfants se construisent un imaginaire et que cela est même bénéfique à leur développement intellectuel : compagnons de jeux imaginaires, scènes ludiques imaginaires, etc. Il n'en reste pas moins que, sur le plan neuro-biologique, si le système nerveux est complet dès la naissance, les neurones au sein du SNC ONT ENCORE BESOIN DE S'INTER-CONNECTER. Et ce processus de complétion prend, en moyenne, 7 ans. Donc, entre 0 et 7 ans, des interférences ondulatoires, i.e. des effets "quantiques" SUBSISTENT. A L'INTERIEUR DU CERVEAU. En d'autres termes, l'enfant est PLUS EN CONTACT AVEC <strong>C</strong><sup>4</sup> QUE L'ADULTE. Mais il est encore bien trop jeune pour l'interpréter (même chez l'adulte, c'est loin d'être évident. Alors...). Il peut être amené à développer des "peurs infantiles" parce qu'ils ne comprend pas ce contact avec l'univers quantique.<br />
<br />
Je donne l'air d'extrapoler ? Pas tant que ça : lorsque vous provoquez volontairement des COHERENCES D'ETATS au sein de la machinerie cérébrale, c'est VOUS qui interprétez ça comme autant de "comportements pathologiques". Or, si ces comportements paraissent effectivement SIMILAIRES à de la schizophrénie, vous ne retrouvez PAS les dysfonctionnements biologiques inhérents à cette classe de maladies.<br />
<br />
Je sais bien que la définition légale de la "mort clinique" peut différer d'un pays à l'autre, mais quand vous n'avez plus de signal sur votre IRM cérébral et que le patient vous rapporte les mêmes constantes que les autres à son réveil, vous ne pouvez pas vous limiter à mettre ça sur "la biochimie du cerveau". Vous avez en fait créés un CONDENSAT BOSIEN qui a permis le transfert de processus ONDULATOIRES du neurone au système nerveux tout entier. Vous avez donc bien OUVERT le patient sur <strong>C</strong><sup>4</sup>. Et, pendant son "expérience", il rencontre des "Etres de Lumière". Il a des visions RAYONNANTES : c'est normal, il se retrouve plongé dans un espace DE RAYONNEMENT... Vous lui avez fait quitté un espace DE MATIERE...<br />
<br />
La question n'est pas là. Elle est d'essayer de comprendre comment les choses fonctionnent DANS <strong>C</strong><sup>4</sup>. Parce que c'est ça le véritable univers.<br />
<br />
Vous oubliez aussi une chose, au passage : que le cerveau animal est une FRACTALE CIRCONVOLUEE. Du coup, lorsque vous allez le placer en situation "critique", les effets quantiques éminemment locaux vont se diffuser BEAUCOUP PLUS FACILEMENT au niveau macroscopique en raison du fait que le système cérébral est CHAOTIQUE... Vous allez donc passer très rapidement d'une logique chaotique classique à une logique chaotique quantique...<br />
<br />
Un mode de raisonnement complètement différent, avec des percepts, concepts et objets de mémoire complètement différents. Mais qui n'ont rien D'ARTIFICIEL, contrairement à ce que vous pourriez penser.<br />
<br />
Si vous pensez comme ça, ce n'est pas compliqué : vous entrez inévitablement en conflit direct avec la physique ondulatoire et la physique du chaos. Ce n'est pas le fait d'injecter du "machin truc bidule" dans les veines du patient qui va le faire "délirer" : tout comme les psychotropes ouvrent sur "une autre réalité perceptive", BIOCHIMIQUE celle-là, les EMIs "contrôlées" ouvrent sur la réalité QUANTIQUE. On va AU-DELà, si je puis dire, des simples processus biochimiques.<br />
<br />
Ou, si vous préférez en rester à ce type de processus, on passe à de la biochimie QUANTIQUE.<br />
<br />
Du côté de la géométrie, on le voit tout de suite en comparant (2) à (5) : LOCALEMENT, vous êtes en présence d'une géométrie COMPLEXE, donnée par le carré,<br />
<br />
(6) [x(ksi<sub>0</sub>)]²[ksi(ksi<sub>0</sub>)] = [S<sub>n</sub> x<sub>n</sub>(ksi<sub>0</sub>)]² = [S<sub>n</sub> |x|<sub>n</sub>exp(inksi<sub>0</sub>)]²<br />
= S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)²exp(2inksi<sub>0</sub>) + 2S<sub>n</sub>S<sub>n'<>n</sub> |x|<sub>n</sub>|x|<sub>n'</sub>exp[i(n + n')ksi<sub>0</sub>] ;<br />
<br />
GLOBALEMENT, vous passez à une géométrie HERMITIENNE, donnée par,<br />
<br />
(7) < |x|²(ksi<sub>0</sub>) > = S<sub>n</sub> (|x|<sub>n</sub>)² ,<br />
<br />
la conjugaison complexe,<br />
<br />
(8) [x(ksi<sub>0</sub>)]*[ksi(ksi<sub>0</sub>)] = [x(ksi<sub>0</sub>)][-ksi(ksi<sub>0</sub>)]<br />
<br />
assurant la symétrie miroir. La différence est flagrante : la topologie locale est quantique ; la topologie globale est classique. On voit bien la DEQUANTIFICATION lors du passage du niveau microscopique de description au niveau macroscopique. Pas besoin d'arguments sophistiqués pour cela.<br />
<br />
Je souhaiterais conclure cette discussion en alertant la communauté comportementaliste sur un point.<br />
<br />
Le passage du classique au quantique révèle que le concept de "polarité" est "subsidiaire" : la vision classique donne un sens du "positif" et du "négatif", c'est la question du <em>signe</em>. Rien de tel n'existe dans le monde quantique : on n'y a à faire qu'à des phases et des <em>oppositions</em> de phases. Il n'y a pas plus de "positif" que de "négatif", il n'y a que des valeurs et des valeurs <em>opposées</em>. C'est loin d'être du pinaillage : IL N'EXISTE, A PROPREMENT PARLER, AUCUN CONCEPT DE "BIEN" NI DE "MAL" DANS LE MONDE QUANTIQUE, AU CONTRAIRE DU MONDE CLASSIQUE.<br />
<br />
Partout où cela est éthiquement et légalement autorisé, vous pratiquez des "simulations" de "mort clinique" sur des volontaires. Vous tentez de reproduire artificiellement les phénomènes rapportés lors d'EMIs "spontanées". Néanmoins, vous ne savez jamais A L'AVANCE si l'expérience en question sera "positive" ou "négative". Or, nous venons de le voir, ce que vous pensez être "artificiel" est, en réalité, BIEN REEL. Les stimuli biochimiques que vous envoyez dans l'organisme animal pour le remettre en état d'EMI ne se réduisent PAS à de simples "simulations". VOUS OUVREZ DES PORTES.<br />
<br />
Je vous suggèrerais donc de prendre garde à ce que vous faites. Car vous pouvez tout aussi bien ouvrir des portes sur le "positif", sur des valeurs "en phase", comme sur le négatif, sur des valeurs "EN OPPOSITION de phase", même si ces dernières s'avèrent plus rares que les premières. Vous ne savez pas ce qui se trouve "derrière" parce que vous n'avez aucune idée de la manière dont fonctionnent les choses dans <strong>C</strong><sup>4</sup>. Vous expérimentez "à l'aveugle". Tout ce que vous savez, c'est ce que vous rapportent les volontaires EN FIN d'expérience (au réveil). Et ce qu'ils vous rapportent TOUS, c'est qu'il y a des choses "positives" et d'autres, "négatives". S'il ne s'agit plus du simple fruit de leur imagination, cela veut dire que ces choses SONT BIEN PRESENTES. Elles ne sont que dissimulées à notre perception en état normal, non critique.<br />
<br />
Je ne fais pas dans le "spiritualisme", je fais dans la PHYSIQUE. La physique QUANTIQUE.<br />
<br />
Vous avez très bien compris l'essence de mon message : ne tentez pas le Diable... sachez d'abord où vous vous aventurez.<br />
<br />
C'est tout l'objet de ce blog : essayer de savoir Où L'ON MET LES PIEDS.<br />
<br />
Le cerveau est une machine merveilleuse, mais ce peut aussi être une "porte" sur un monde physique qui nous dépasse totalement. Tant que ses propensions restent négligeables, on n'est, au pire, que dans le domaine psychiatrique. Mais, si vous l'amplifiez au point de le rendre perceptible à grande échelle, on QUITTE le domaine psychiatrique. Et on ne sait pas du tout ce que l'on va trouver. En bon comme en mauvais.<br />
<br />
Je comprends tout à fait que les groupes pharmaceutiques voient en l'étude des EMIs des possibilités thérapeutiques nouvelles. Et de nouvelles voies de marché aussi, en plus de celles apportées par les psychotropes. Mais elles ouvrent également une Boite de Pandore. Qui pourraient tout aussi bien se transformer en Hellraiser...<br />
<br />
Alors, pas de précipitation : l'argent, c'est bien, mais le savoir, c'est mieux...<br />
<br />
J'ai démarré ce blog il y a maintenant 11 ans dans quel but ? 1) tenter de répondre à mes propres interrogations ; 2) DISSUADER LES CONFLITS ARMéS. Partant du principe que, tant que l'on CROIT, le doute est permis. Tandis que, lorsque l'on SAIT, il n'y a plus de doute. On est alors fixé sur le prix à payer pour ses actes. Et ça, ça fait réfléchir beaucoup plus que la seule croyance...<br />
<br />
REFLECHIR A 2 FOIS AVANT D'AGIR. PARCE QUE TOUT ACTE A SES CONSEQUENCES.<br />
<br />
On assiste à quoi depuis le début de ce siècle et de nouveau millénaire ? A un EMBALLEMENT. Une accélération significative des conflits armés. D'accord, c'est le meilleur moteur qu'on ait trouvé jusqu'ici pour faire avancer la science à grands pas. Je trouve cela FORT DOMMAGEABLE. Il y a d'autres moyens, plus pacifistes. Quand on ne sait résoudre le chômage de masse qu'en générant de nouveaux conflits, je dis que ce sont LES ECONOMISTES qu'il faudrait pendre haut et court, pas RESORBER son chômage en fabriquant de la chair à canon... Mais, comme il n'y a pas moyen de raisonner les gens, il faut les mettre devant LE FAIT ACCOMPLI : la vie biologique est une chose, éphémère, ensuite ? Ensuite, ON NE SAIT PAS. Tout ce que l'on sait, c'est qu'on devra RENDRE COMPTE DE SES ACTES. Et ça, ça peut prendre BEAUCOUP PLUS DE TEMPS, d'autant plus QUE LE TEMPS NE COMPTE PAS DANS LE MONDE QUANTIQUE...<br />
<br />
Sommes-nous bien d'accord sur le principe ?<br />
<br />
Il existe une multitude d'autres moyens de prospérer et de faire avancer les connaissances. Pour ceux qui se montrent incapables de maîtriser leur égo, il y a la psychiatrie pour ça... pas des charniers où l'on fait payer les autres.<br />
<br />
Les travaux qui suivent vont s'intéresser à la structure et à la dynamique de <strong>C</strong><sup>4</sup>. On va essayer de tirer ça au clair. Pas seulement au niveau microscopique.<br />
<br />
<br />
B 190 : Les EMIs NE SONT PAS des simulations.B 189 : Commentaire
http://doclabidouille.blogs.fr/index.html#a640547
Reprenons la méthodologie d'usage : on commence par collecter des données d'observation, ensuite, on cherche un modèle théorique qui rende compte de ces données du mieux possible. Cela a été le cas, notamment, pour la diffusion moléculaire dans <strong>R</strong><sup>3</sup>. L'étude de la collision des molécules au sein d'un gaz a montré que ce comportement était imprévisible à l'avance du fait que le système perdait très rapidement la mémoire des collisions précédentes et que le modèle correspondant, dû à Maxwell, était une répartition gaussienne : la vitesse des molécules du gaz à l'étude se distribue de manière "aléatoire". On a, bien sûr, confronté en retour ce modèle à l'expérience, les résultats se sont avérés relativement corrects. On l'a ensuite amélioré, en le généralisant (Boltzmann).<br />
<br />
Dans le cas de la température, c'est pareil : partant d'une <em>source de chaleur</em> Q(x,t) se répartissant dans un volume limité de l'espace classique 3D au cours du temps, on a établi un modèle représentatif du <em>champ de température</em> T(x,t) vérifiant l'équation aux dérivées partielles du second ordre de type parabolique :<br />
<br />
(1a) dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub> + Q(x,t) (a = 1,2,3)<br />
<br />
où D est un "coefficient de diffusion", en m²/s. <em>A l'extérieur</em> de cette source de chaleur, le modèle correspondant est :<br />
<br />
(1b) dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub> <br />
<br />
<em>au sens des fonctions</em> et<br />
<br />
(1c) dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub> + q(t)d(x)<br />
<br />
<em>au sens des distributions</em>. Autrement dit, du point de vue fonctionnel, on pose dans (1a) que la source est nulle (puisqu'on étudie la <em>propagation</em> du champ de température <em>hors</em> de celle-ci), alors que, du point de vue plus large des distributions, on se contente de considérer que tout se passe <em>comme si</em> la source était "ponctuelle", de quantité de chaleur q(t) toute entière concentrée en un point référence "x = 0", point de départ de l'observation. Etant donné que d(x) = 0 en tout autre point, on rejoint le point de vue fonctionnel hors de la source.<br />
<br />
La solution de (1b) est :<br />
<br />
(1d) T(x,t) = S<sub><strong>R</strong>3</sub> T(x',0)(2piDt)<sup>-3/2</sup>exp(-|x - x'|²/4Dt)d<sup>3</sup>x'<br />
<br />
avec |x|² = Id<sub>ab</sub>x<sup>a</sup>x<sup>b</sup> le carré de la norme du vecteur position <strong>x</strong> (topologie !) et d<sup>3</sup>x' = dx'<sup>1</sup>dx'<sup>2</sup>dx'<sup>3</sup>, l'élément de volume 3D. Le produit Dt est en m². La "fonction-densité" (2piDt)<sup>-3/2</sup>exp(-|x - x'|²/4Dt), en m<sup>-3</sup>, est le "noyau de la chaleur" : c'est elle qui va <em>diffuser</em> le champ de température hors de sa source d'émission en agissant par convolution sur la valeur initiale T(x',0) de ce champ à l'instant t = 0 choisi comme début de l'observation <em>en tous les points de l'espace autres que le point d'observation</em> x. La "concaténation" de tous ces résultats par intégration, ou "superposition continue" [l'équation (1a) est linéaire], fournira la valeur T(x,t) du champ au point d'observation x à l'instant futur t > 0 (D étant généralement pris > 0, l'exponentielle ne converge que pour t > 0).<br />
<br />
Il n'est pas question de remettre en doute ce modèle, ce serait contraire au protocole car cela reviendrait à nier le fait qu'il représente assez fidèlement la diffusion de la température dans l'espace au cours du temps. Mais vous avez déjà un autre modèle de diffusion, celui de Schrödinger, où le coefficient de diffusion est <em>imaginaire pur</em>, conduisant à une gaussienne "<em>oscillante</em>", toujours dans <strong>R</strong><sup>3</sup> (on ne change rien au cadre physique ; on ne modifie même pas la dynamique, qui reste galiléenne) :<br />
<br />
(1e) T(x,t) = S<sub><strong>R</strong>3</sub> T(x',0)(2piDt)<sup>-3/2</sup>exp(-|x - x'|²/4Dt)d<sup>3</sup>x' avec D = ih/2pim<br />
<br />
où m est la masse au repos d'une "particule". On appelle (1d) diffusion "corpusculaire" et (1e), diffusion "ondulatoire". Les deux comportements sont si éloignés l'un de l'autre, (1d) ayant un noyau hyperbolique alors que (1e) a un noyau elliptique, borné, sans divergence, hormis à t = 0, que toute tentative de regroupement des deux relèverait de ce que j'appelerais de la "diffusion <em>crépusculaire</em>"... ("twilight scattering"...). (1e) est pourtant l'expression de la "fonction d'onde" qui correspond aux observations "quantiques" dans l'espace galiléen <strong>R</strong><sup>3</sup>.<br />
<br />
On ne peut pas plus nier l'acuité de (1e) que celle de (1d) pour la diffusion "classique". Ce que je soutiens, c'est que toutes ces observations et leurs apparentes "incompatibilités contextuelles" relèvent du fait qu'elles sont effectuées dans un cadre physique <em>trop restreint</em>, qui ne correspond <u>pas</u> à la réalité. Ce n'est pas parce que c'est "la réalité à laquelle nos sens de perception ont accès" que c'est la véritable réalité : nos sens sont biologiquement limités. Aussi, quand nos instruments de mesure nous donnent des résultats <em>apparemment</em> "aberrants", comme c'est couramment le cas de la "mesure quantique" comparée à la "classique", nous nous retrouvons face à des "contradictions de principe", des "paradoxes", <em>parce que notre cerveau, ultime étape de l'analyse de notre environnement naturel, est habitué à raisonner d'une toute autre manière</em>.<br />
<br />
Quand il n'est plus capable de percevoir <em>directement</em> les phénomènes physiques, la seule solution est d'aller en fouiller les structures mathématiques, logiques, abstraites et de se placer dans une physique HORS observateur. C'est la seule manière de le libérer de ses sens de perception qui l'influencent. Il se met alors à raisonner <em>différemment</em>. Et à <em>accepter</em> ce que les structures lui révèlent. Il n'est plus dépendent de données d'observation, de mesures : je n'ai pas l'astuce inventive des praticiens, mais je ne vois pour l'instant aucun moyen de vérifier le spin de l'univers, même de sa partie observable. Pourtant, ce spin <em>existe</em>, parce que l'analyse de la <em>structure</em> du monde physique le prouve. Et là, on se met à <em>devancer</em> l'observation, on se met à prédire des choses <em>qu'on n'a pas encore observées</em>.<br />
<br />
Nous en avons déjà longuement parlé : l'espace <strong>R</strong><sup>3</sup> <u>n'est pas</u> le bon cadre physique. C'est <strong>R</strong><sup>4</sup>. Or, nous ne percevons pas <em>directement</em> les effets de <strong>R</strong><sup>4</sup>. Encore moins de <strong>C</strong><sup>2</sup> et encore moins de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). Pourtant les mathématiques nous disent que toutes ces <em>structures</em> sont de même dimension (mais évidemment pas de même nature) et qu'elles sont même <em>en correspondance les unes avec les autres</em>. Or, l'équation mathématique d'une structure du second ordre garde peut-être la même allure pour toutes les structures, mais ne conduit certainement pas aux même résultats. Ainsi, dans <strong>R</strong><sup>3</sup>, cette équation s'écrit-elle :<br />
<br />
(2a) C<sub>ab</sub>(x<sup>a</sup> - x<sub>0</sub><sup>a</sup>)(x<sup>b</sup> - x<sub>0</sub><sup>b</sup>) = 0 avec C<sub>ba</sub> = C<sub>ab</sub> , x<sub>0</sub><sup>a</sup> = ctes.<br />
<br />
Dans <strong>R</strong><sup>4</sup>, c'est déjà :<br />
<br />
(2b) C<sub>ij</sub>(x<sup>i</sup> - x<sub>0</sub><sup>i</sup>)(x<sup>j</sup> - x<sub>0</sub><sup>j</sup>) = C<sub>ab</sub>(x<sup>a</sup> - x<sub>0</sub><sup>a</sup>)(x<sup>b</sup> - x<sub>0</sub><sup>b</sup>) + 2C<sub>a0</sub>(x<sup>a</sup> - x<sub>0</sub><sup>a</sup>)(x<sup>0</sup> - x<sub>0</sub><sup>0</sup>) + C<sub>00</sub>(x<sup>0</sup> - x<sub>0</sub><sup>0</sup>)² = 0<br />
<br />
avec toujours C<sub>ji</sub> = C<sub>ij</sub>. Dans <strong>C</strong><sup>2</sup>, elle prend l'allure :<br />
<br />
(2c) C<sub>AB</sub>(x<sup>A</sup> - x<sub>0</sub><sup>A</sup>)(x<sup>B</sup> - x<sub>0</sub><sup>B</sup>) = 0 , C<sub>BA</sub> = C<sub>AB</sub> , x<sub>0</sub><sup>A</sup> = ctes<br />
<br />
mais avec x<sup>A</sup> = x<sup>0A</sup> + ix<sup>1A</sup> et C<sub>AB</sub> = C<sup>0</sup><sub>AB</sub> + iC<sup>1</sup><sub>AB</sub>. Quant à M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), c'est (2b) avec la conversion x<sup>i</sup> = 2<sup>-½</sup>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>x<sup>AB</sup>, qui donne :<br />
<br />
½ C<sub>ij</sub>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>s<sup>j</sup><sub>CD</sub>(x<sup>AB</sup> - x<sub>0</sub><sup>AB</sup>)(x<sup>CD</sup> - x<sub>0</sub><sup>CD</sup>) = 0<br />
<br />
soit,<br />
<br />
(2d) C<sub>AB,CD</sub>(x<sup>AB</sup> - x<sub>0</sub><sup>AB</sup>)(x<sup>CD</sup> - x<sub>0</sub><sup>CD</sup>) = 0 avec C<sub>AB,CD</sub> = ½ C<sub>ij</sub>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>s<sup>j</sup><sub>CD</sub> = C<sub>CD,AB</sub> <br />
<br />
Avec des x et des x<sub>0</sub> sans unité, l'équation (2a) autorise le paraboloïde mais <em>en dimension classique </em>3 <em>seulement</em>. Sinon, avec C<sub>a0</sub> = C<sub>ab</sub>x<sub>0</sub><sup>b</sup> et C<sub>00</sub> = C<sub>ab</sub>x<sub>0</sub><sup>a</sup>x<sub>0</sub><sup>b</sup>, elle se réduit à l'équation homogène C<sub>ij</sub>x<sup>i</sup>x<sup>j</sup> = 0, <em>moins générale que</em> (2b). La diffusion dans <strong>R</strong><sup>4</sup> sera donc d'ors et déjà différente de celle dans <strong>R</strong><sup>3</sup>, tout en restant "corpusculaire", puisque d'une part, il faudra y introduire <em>une nouvelle échelle</em> l dont le carré l² remplacera Dt, d'autre part, |x|² = Id<sub>ij</sub>x<sup>i</sup>x<sup>j</sup> = Id<sub>ab</sub>x<sup>a</sup>x<sup>b</sup> + (x<sup>0</sup>)² ; enfin, le terme pré-exponentiel passera en (2pil)<sup>-4</sup> et l'élément de volume 4D sera d<sup>4</sup>x = d<sup>3</sup>xdx<sup>0</sup>. Bref, tout est modifié, le noyau de la chaleur se mesure en m<sup>-4</sup> et non plus en m<sup>-3</sup>. Pour le même type de diffusion, la portée de celle-ci est plus courte en dimension 4 qu'en dimension 3.<br />
<br />
Depuis Einstein, on a pris l'habitude de considérer que les effets physiques de la dimension 4 se font percevoir lors de déplacements dans l'espace 3D à des vitesses comparables à celle de la lumière. Néanmoins, depuis les travaux de Penrose, on s'aperçoit que la dimension 4 est plutôt lié à l'existence du spin ½ qu'à un "effet de vitesse". Les deux sont cinématiques : le spin est issu du moment cinétique, produit vectoriel (en dimension 3) de la position d'un corps avec son impulsion. Mais, s'il "suffit", chez Einstein, de "rejetter c à l'infini", ce qui revient à se déplacer à des vitesses très inférieures à celle de la lumière, pour ne plus percevoir "d'effet de 4ème dimension" et retrouver la relativité de Galilée, il s'avère impossible de négliger le spin sans toucher immédiatement <em>à l'espace physique lui-même</em>. Nous en avons déjà parlé : le seul fait de poser que h = 0 implique l'absence de spin. Or, le spin ½, sa plus petite valeur non nulle, n'est pas seulement lié à la dimension 4, il l'est tout autant à la dimension <u>3</u> : les "spineurs de Pauli" sont les "équivalents galiléens" des "spineurs de Dirac" en relativité d'Einstein. Aussi, si l'on peut se permettre de poser c = +oo dans la plupart des phénomènes de la vie quotidienne, il est beaucoup plus difficile, contrairement aux apparences, de poser que h = 0, car cela réduirait le spin universel à la valeur zéro, ce qui aurait pour conséquence de limiter le monde physique à la dimension classique <u>2</u> : nous serions tous des êtres bidimensionnels dans un monde bidimensionnel. L'absurdité d'une telle affirmation me semble évidente... C'est ce que nous disions dans une bidouille précédente : c ne touche qu'à la <em>dynamique</em> des corps dans l'espace, alors que h touche à la <em>dimension</em> de l'espace lui-même [h = 0 <=> s = 0 <=> D(0) = 2]. Tant que l'on n'appliquait la théorie du spin qu'aux champs physiques <em>à support</em> dans l'espace 3D ou 4D, on pouvait négliger la constante de Planck. Mais <u>ce n'est pas</u> la conclusion à laquelle aboutit Penrose : lui a établi une correspondance <em>mathématique</em>, c'est-à-dire <em>formelle</em>, entre l'espace-temps de Minkowski <strong>R</strong><sup>1,3</sup> (genre temps), soit <u>le cadre</u>, et les matrices de spin de Pauli. Cette correspondance s'avère <em>bi-univoque</em>, c'est à dire qu'elle agit dans les deux sens. C'est une <em>équivalence</em> : l'espace-temps de Minkowski possède une structure spinorielle sous-jacente ; les quadrivecteurs correspondent à des spineurs ½ et réciproquement.<br />
<br />
Ce n'est pas important, c'est <em>essentiel</em>, parce que les propagateurs sont particulièrement sensibles au nombre de dimensions du cadre physique, même les plus simples d'entre eux : le propagateur newtonien de Id<sup>ab</sup>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub> = 0 est :<br />
<br />
(3a) N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) = 1/[(x<sup>1</sup>)² + (x<sup>2</sup>)² + (x<sup>3</sup>)²]<sup>½</sup> <br />
<br />
celui de Id<sup>ij</sup>d<sub>i</sub>d<sub>j</sub> = 0 est<br />
<br />
(3b) N<sub>4</sub>(x<sup>0</sup>,x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) = 1/[(x<sup>0</sup>)² + (x<sup>1</sup>)² + (x<sup>2</sup>)² + (x<sup>3</sup>)²]<br />
<br />
Le rapport entre les deux est de :<br />
<br />
(3c) N<sub>4</sub>(x<sup>0</sup>,x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) = [N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>)]²/{1 + [N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>)x<sup>0</sup>]²}<br />
<br />
Même pour x<sup>0</sup> = 0, on n'obtient que :<br />
<br />
(3d) N<sub>4</sub>(0,x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) = [N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>)]²<br />
<br />
Pour que les deux noyaux coïncident, il faut se placer sur les hypersurfaces :<br />
<br />
(3e) x<sup>0</sup> = +/-[N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) - 1]<sup>½</sup>/N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) avec N<sub>3</sub>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup>) >= 1.<br />
<br />
Mais x<sup>0</sup> n'est alors plus une variable indépendante. On voit bien la différence de comportement entre la dimension 3 et la dimension 4 : non seulement N<sub>4</sub> est inversement proportionnel au <em>carré</em> de la distance au centre, alors que N3 n'est inversement proportionnel qu'à celle-ci, mais (x<sup>0</sup>)² + (x<sup>1</sup>)² + (x<sup>2</sup>)² + (x<sup>3</sup>)² est toujours supérieur ou égal à (x<sup>1</sup>)² + (x<sup>2</sup>)² + (x<sup>3</sup>)². Deux bonnes raisons pour que la <em>portée</em> de la propagation dans <strong>R</strong><sup>4</sup> soit beaucoup plus courte que celle dans <strong>R</strong><sup>3</sup>.<br />
<br />
Voilà un exemple caractéristique de <em>décalage</em> (et donc, <em>d'erreur d'appréciation</em>) que l'on commet inévitablement quand on néglige ne serait-ce que l'extrême petitesse de h (qui n'est pourtant présente nulle part dans les calculs)...<br />
<br />
C'est consternant, voire même décourageant : on pensait être dans le vrai, même après l'apparition de la relativité du temps, ce n'est pas le cas... Du coup, on se demande : à quand la découverte d'une nouvelle constante physique fondamentale qui remettra tout en question une fois encore ?...<br />
<br />
Je ne sais pas. Tout ce que je peux dire, c'est qu'il faudrait que la recherche fondamentale accorde <em>un peu plus de temps</em> à fouiller les structures jusque dans leurs moindres détails afin d'éviter les approximations de ce genre, qui faussent tout...<br />
<br />
On va trop vite en besogne : on n'est pas en sciences <em>appliquées</em> où c'est la course aux résultats pour des questions de compétitivité. En sciences fondamentales, on prend le temps qu'il faut... ça évite d'avoir à revenir en arrière et de tout remettre en cause...<br />
<br />
Je sais que beaucoup d'entre vous se disent "les résultats affichés dans ce blog n'ont rien à voir avec ceux que l'on connait". Bin, non... et c'est justement là le problème...<br />
<br />
<br />
B 189 : CommentaireB 188 : DIFFUSEURS DANS M2(R)
http://doclabidouille.blogs.fr/page_2.html#a640481
Considérons maintenant une source dans <strong>R</strong>, toujours hors observation. C'est une distribution q(x)dx, de densité q(x). Dans les modèles linéaires d'interaction, cette source va diffuser ses informations à l'aide d'un champ de transmission F(x). La relation entre densité de source et champ sera intégrale et utilisera le "noyau de diffusion" D(x). Celui-ci <em>se couplera</em> à la distribution source via la formule de convolution :<br />
<br />
(1a) F<sub>int</sub>(x) = KS<sub><strong>R</strong></sub> D(x - x')q(x')dx'<br />
<br />
où K est un coefficient de proportionnalité > 0. Cette expression fournira l'allure du champ <em>à l'intérieur</em> de la source. Ce n'est plus ce qui nous intéresse. Nous voulons le champ <em>à l'extérieur</em> de la source. Pour l'obtenir, il faut poser :<br />
<br />
(1b) q<sub>ext</sub>(x)dx = qd(x)dx<br />
<br />
On trouve alors :<br />
<br />
(1c) F<sub>ext</sub>(x) = KqD(x)<br />
<br />
Cette partie du champ qui transmet les informations de la source à l'extérieur de celle-ci est le produit de la constante de proportionnalité K, de la "charge topologique" q contenue dans la source et du "diffuseur" D(x). Dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), ce dernier a généralement pour expression :<br />
<br />
(1d) D<sup>i</sup>(x) = (d/dx){exp[S(x)s<sup>i</sup>/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)s<sup>i</sup>/h]s<sup>i</sup> <br />
<br />
pour la matrice unité s<sup>i</sup>.<br />
<br />
Il est possible de regrouper les formules [B187, (4a) et (4b)] en une seule, à condition de faire intervenir l'unité imaginaire i. Pour éviter d'éventuelles confusions entre elle et <em>l'indice</em> entier i qui parcourt les valeurs de 0 à 3, nous allons réindexer les matrices s au moyen d'indices binaires C et D formant le mot 2C + D. Les expressions [B187, (4a) et (4b)] nous disent que la puissance de i doit être nulle pour s<sup>0</sup> et égale à 1 pour les 3 autres unités. Le facteur commun doit donc être de la forme i<sup>(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D)/3!</sup>. Comme C et D sont des binaires, on a :<br />
<br />
(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D) = [2 + (2C + D)² - 3(2C + D)](3 - 2C - D)<br />
= 2(1 - C - D + 2CD)(3 - 2C - D)<br />
= 6(1 - C + CD - D) = 6(1 - C)(1 - D)<br />
<br />
Ce facteur commun est donc simplement i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup> :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1e) exp[S(x)s<sup>CD</sup>/h] = ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + i<sup>-(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h]s<sup>CD</sup></span> <br />
<br />
Il en résulte après dérivation :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1f) D<sup>CD</sup>(x) = [p(x)/h]{i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h]s<sup>CD</sup>}</span><br />
<br />
Le champ de transmission correspondant est donc :<br />
<br />
(1g) F<sub>ext</sub><sup>CD</sup>(x) = KD<sup>CD</sup>(x)q<br />
<br />
L'opérateur de diffusion D<sup>CD</sup>(x) étant à valeurs <em>matricielles</em>, la charge topologique q doit être un nombre à <u>deux</u> composantes q<sup>0</sup> et q<sup>1</sup>, conformément au spin 0. Le champ résultant est alors également à 2 composantes :<br />
<br />
(1h) F<sub>ext</sub><sup>CD,A</sup>(x) = KD<sup>CD,A</sup><sub>B</sub>(x)q<sup>B</sup> <br />
<br />
Le <em>support</em>, lui, par contre, reste <strong>R</strong> (pour le moment). Soient u<sup>B</sup>, les coefficients directeurs de la charge topologique :<br />
<br />
(2a) q<sup>B</sup> = |q|u<sup>B</sup> <br />
<br />
D'après (1f), on a :<br />
<br />
(2b) F<sub>ext</sub><sup>CD,A</sup>(x) = K|q|[p(x)/h]{i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h](s<sup>1</sup>)² +<br />
+ ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h]s<sup>CD</sup>}<sup>A</sup><sub>B</sub>u<sup>B</sup> <br />
= (K/h)|qp(x)|U<sup>CD,A</sup>(x)<br />
<br />
Les coefficients directeurs du champ F<sub>ext</sub><sup>CD</sup>(x) sont alors :<br />
<br />
(2c) U<sup>CD,A</sup>(x) = {i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>S(x)/h]s<sup>CD</sup>}<sup>A</sup><sub>B</sub>u<sup>B</sup> <br />
<br />
Ils sont tous réels. Au signe de p(x) près :<br />
<br />
(2d) U<sup>00,A</sup>(x) = {-sin[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + cos[S(x)/h]s<sup>0</sup>}<sup>A</sup><sub>B</sub>u<sup>B</sup> <br />
(2e) U<sup>CD,A</sup>(x) = {sh[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + ch[S(x)/h]s<sup>CD</sup>}<sup>A</sup><sub>B</sub>u<sup>B</sup> [(C,D) <> (0,0)]<br />
<br />
On souhaiterait que le champ de transmission ait même intensité :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2f) |F<sub>ext</sub>|(x) = (K/h)|qp(x)|</span><br />
<br />
dans les 4 cas de figure et que ce soit plutôt <em>la topologie</em> qui s'adapte d'une unité à l'autre. Dans le cas de s<sup>0</sup>,<br />
<br />
(3a) U<sup>00,0</sup>(x) = -{sin[S(x)/h]u<sup>0</sup> - cos[S(x)/h]u<sup>1</sup>}<br />
(3b) U<sup>00,1</sup>(x) = -{sin[S(x)/h]u<sup>1</sup> + cos[S(x)/h]u<sup>0</sup>}<br />
<br />
Dans le cas de s<sup>1</sup>,<br />
<br />
(3c) U<sup>01,0</sup>(x) = sh[S(x)/h]u<sup>0</sup> + ch[S(x)/h]u<sup>1</sup> <br />
(3d) U<sup>01,1</sup>(x) = sh[S(x)/h]u<sup>1</sup> + ch[S(x)/h]u<sup>0</sup> <br />
<br />
Dans celui de s<sup>2</sup>,<br />
<br />
(3e) U<sup>10,0</sup>(x) = exp[S(x)/h]u<sup>0</sup> <br />
(3f) U<sup>10,1</sup>(x) = -exp[-S(x)/h]u<sup>1</sup> <br />
<br />
et dans celui de s<sup>3</sup>,<br />
<br />
(3g) U<sup>11,A</sup>(x) = exp[S(x)/h]u<sup>A</sup> <br />
<br />
On aimerait que les paramétrisations sur les coefficients directeurs mènent à des <em>identités</em>. Pour s<sup>0</sup>, s'agissant de fonctions du cercle, on a :<br />
<br />
(4a) s<sup>11</sup><sub>AB</sub>U<sup>00,A</sup>(x)U<sup>00,B</sup>(x) = s<sup>11</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = (u<sup>0</sup>)² + (u<sup>1</sup>)²<br />
<br />
Le choix de :<br />
<br />
(4b) u<sup>A</sup> = cos(ups - Api/2) = ½ [e<sup>i(ups - Api/2)</sup> + (1 - 2A)e<sup>-i(ups + Api/2)</sup>]<br />
<br />
mènera donc automatiquement à,<br />
<br />
(4c) s<sup>11</sup><sub>AB</sub>U<sup>00,A</sup>(x)U<sup>00,B</sup>(x) = s<sup>11</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = 1<br />
(4d) U<sup>00,A</sup>(x) = cos[S(x)/h - ups + (3 - A)pi/2]<br />
<br />
Pour s<sup>1</sup>, on est en présence des fonctions de l'hyperbole, suggérant l'utilisation de s<sup>2</sup> :<br />
<br />
(5a) s<sup>10</sup><sub>AB</sub>U<sup>01,A</sup>(x)U<sup>01,B</sup>(x) = -s<sup>10</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = -[(u<sup>0</sup>)² - (u<sup>1</sup>)²]<br />
<br />
Cette fois, c'est le choix de :<br />
<br />
(5b) u<sup>A</sup> = ½ [e<sup>ups</sup> + (1 - 2A)e<sup>-ups</sup>]<br />
<br />
qui conduira à,<br />
<br />
(5c) s<sup>10</sup><sub>AB</sub>U<sup>01,A</sup>(x)U<sup>01,B</sup>(x) = -s<sup>10</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = -1<br />
(5d) U<sup>01,A</sup>(x) = ½ {e<sup>S(x)/h + ups</sup> - (1 - 2A)e<sup>-[S(x)/h + ups]</sup>}<br />
<br />
Pour s<sup>2</sup>, c'est le produit bilinéaire :<br />
<br />
(6a) ½ s<sup>01</sup><sub>AB</sub>U<sup>10,A</sup>(x)U<sup>10,B</sup>(x) = -½ s<sup>01</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> <br />
<br />
qui, via la paramétrisation,<br />
<br />
(6b) u<sup>A</sup> = exp[(1 - 2A)ups] = ch(ups) + (1 - 2A)sh(ups)<br />
<br />
va donner l'identité,<br />
<br />
(6c) ½ s<sup>01</sup><sub>AB</sub>U<sup>10,A</sup>(x)U<sup>10,B</sup>(x) = -½ s<sup>01</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = -1<br />
<br />
Enfin, pour s<sup>3</sup>, c'est :<br />
<br />
(7) s<sup>00</sup><sub>AB</sub>U<sup>11,A</sup>(x)U<sup>11,B</sup>(x) = s<sup>00</sup><sub>AB</sub>u<sup>A</sup>u<sup>B</sup> = 0<br />
<br />
qui constitue l'identité, étant donné que le coefficient exp[S(x)/h] est commun aux deux composantes.<br />
<br />
Ces formules de trace sont invariantes et peuvent être regroupées en la formule unique :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(8) s<sup>CD</sup><sub>AB</sub>{U<sup>1-C,1-D,A</sup>(x)U<sup>1-C,1-D,B</sup>(x) + [1 - 2(C IAND D)]u<sup>A</sup>u<sup>B</sup>} = 0</span><br />
<br />
Ainsi, à l'aide de ces topologies associées aux unités de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), les éventuelles divergences des facteurs exponentiels dans les coefficients directeurs du champ de transmission peuvent être "gommées" au niveau de <em>l'intensité</em> des divers champs, qui conserve alors une valeur commune donnée par (2f) et qui ne dépend plus que de la charge topologique et de l'impulsion p(x). Or, dans les diffuseurs physiques, celle-ci est amenée à <em>diminuer</em> (en valeur absolue) au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source d'émission, puisque le champ de transmission est de moins en moins énergétique.<br />
<br />
Des divergences peuvent toutefois persister dans les <em>composantes</em> du champ. Mais de quoi venons-nous de parler ? De <em>paramétrisations</em>. Il ressort nettement de (2b) et (2c) que les F<sub>ext</sub><sup>CD,A</sup>(x) sont des <em>paramétrisations</em> du champ F<sub>ext</sub><sup>CD</sup>(x) relatif à l'unité s<sup>CD</sup>, tout comme les q<sup>A</sup> sont des paramétrisations de la charge topologique. Dès lors, il est tout aussi normal de trouver des facteurs <em>divergents</em> dans une topologie <em>hyperbolique</em> qu'il est normal de trouver des facteurs <em>bornés</em> dans une topologie <em>circulaire</em>. Ce ne sont pas tant les <em>projections</em> du champ sur ses axes de coordonnées que leur "hypothénuse" qui est importante. C'est pourquoi j'ai insisté sur <em>l'amplitude</em> du champ : à moins que p(x) ne présente des pôles, celle-ci ne diverge nulle part. Que les composantes F<sub>ext</sub><sup>CD,A</sup>(x) puissent diverger n'a donc pas de réelle importance, l'essentiel est que les <em>identités</em> (8) soient satisfaites <u>partout</u>, dans et hors de la source. Pour présenter les choses sous un angle légèrement différent, disons que les divergences apparaissent <em>du fait de la topologie</em> : dans la topologie circulaire (4b) et (4d), il n'y a pas de divergences ; dans (5b) et (5d), il y en a.<br />
<br />
En introduisant un paramètre "temps" t, le rapport de phase S(x)/h peut être remplacé par le rapport d'inerties I(x)/ht. Comme exemple d'application des résultats établis ci-dessus dans le cas de la diffusion "libre", considérons le modèle gaussien I(x) = -½ mx², où m est la "masse topologique" de la source. On a alors :<br />
<br />
(9a) D<sup>CD</sup>(x,t) = (d/dx){exp[I(x)s<sup>CD</sup>/ht]} = (d/dx)[exp(-mx²s<sup>CD</sup>/2ht)]<br />
= (mx/ht){i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>mx²/2ht](s<sup>1</sup>)² - ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>mx²/2ht]s<sup>CD</sup>}<br />
<br />
(9b) F<sub>ext</sub><sup>CD,A</sup>(x,t) = K|q|(mx/ht){i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>sh[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>mx²/2ht](s<sup>1</sup>)² -<br />
- ch[i<sup>(1 - C)(1 - D)</sup>mx²/2ht]s<sup>CD</sup>}<sup>A</sup><sub>B</sub>(x)q<sup>B</sup> <br />
(9c) |F<sub>ext</sub>|(x,t) = (K/h)|qmx/t| = (K/h)|qm<v>|<br />
(9d) <v> = x/t = vitesse moyenne<br />
<br />
Il est inutile d'aller plus loin car on se rend immédiatement compte que l'intensité du champ de diffusion va <em>augmenter</em> avec la distance à la source. Conclusion très différente (et même à l'antipode, on peut le dire) de celle à laquelle le modèle (d/dx)[exp(-mx²/2ht)] aboutissait dans <strong>R</strong>. L'amplitude n'était pas du tout calculée de la même manière, puisqu'elle tenait compte du facteur exponentiel, convergent. Dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), on se retrouve, au contraire, avec un "effet de rappel" d'impulsion moyenne m<v> et donc de force m<a> = mx/t². Le malheur est que la structure de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) prédomine largement sur celle de <strong>R</strong> et même de <strong>C</strong> ou du corps <strong>H</strong> des quaternions d'Hamilton, parce qu'elle est beaucoup plus riche. Il semble donc que l'on ait un petit problème d'approximation dû à la vision restrictive des choses. Je ne cherche pas à imposer ma conclusion sur celle de Gauss, je ne fais que constater les différences fondamentales de comportement d'un environnement à l'autre. L'amplitude (9c) converge <em>sur la durée</em>, mais diverge sur la distance. A contrario, l'amplitude de Gauss (m<v>/h)exp(-mx²/2ht) convergeait sur la distance comme sur la durée (à condition de rester dans le sens présent -> futur) en raison du facteur exponentiel. Ce n'était qu'aux alentours de "l'instant présent" t = 0 qu'elle se "rétrécissait" en une "fonction densité de Dirac". Rien de tel ne se produit dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), pas même dans le cas de s<sup>3</sup>, puisque (3g) n'est qu'une <em>paramétrisation</em>. Autrement dit, Gauss utilise une paramétrisation <em>exponentielle</em>, d'où la présence du facteur exp(-mx²/2ht), que l'on retrouve d'ailleurs dans D<sup>11</sup>(x,t) et qui est commun aux <em>deux</em> composantes de champ F<sub>ext</sub><sup>11,A</sup>(x,t). Alors :<br />
<br />
a) on a fini par prendre la constante de Planck h en compte dans les calculs "quantiques", mais <em>sans tenir compte du spin du cadre</em>, qui mène, non pas à <strong>R</strong>, mais à <strong>R</strong>² (même pour un spin 0...) et à une algèbre d'opérateurs M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) ;<br />
b) on pensait que s<sup>3</sup> était "l'unité" de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), semblable au "1" dans <strong>R</strong>, c'est en réalité s<sup>1</sup> ;<br />
c) on pensait également que le facteur exponentiel était "indispensable" à l'amplitude du champ de diffusion, alors qu'il ne s'agit en fait que d'une <em>paramétrisation</em>.<br />
<br />
Beaucoup d'a priori et d'omissions qui conduisaient à des conclusions fort éloignées des résultats actuels. Il est tout à fait possible (et c'est même le cas) que l'on observe une diffusion gaussienne en -(mx/ht)exp(-mx²/2ht) dans <strong>R</strong>, sauf que CE N'EST PAS LE BON CADRE PHYSIQUE : IL EST TROP RESTREINT...<br />
<br />
B 188 : DIFFUSEURS DANS M2(R)B 187 : PROPAGATEURS DANS M2(R), INTRODUCTION
http://doclabidouille.blogs.fr/page_2.html#a640210
Dans cette bidouille, nous allons utiliser l'isomorphisme d'espaces vectoriels M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) ~ <strong>R</strong><sup>4</sup> ~ <strong>C</strong><sup>2</sup> ~ <strong>H</strong>.<br />
<br />
Si nous reprenons les propriétés de base des unités fondamentales de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) établies en [B178, (25-28)], nous recevons déjà confirmation que l'unité antisymétrique s<sup>0</sup> se comporte bien comme l'unité imaginaire i de <strong>C</strong> :<br />
<br />
(1a) (s<sup>0</sup>)<sup>-1</sup> = -s<sup>0</sup> <-> i<sup>-1</sup> = -i , (s<sup>0</sup>)² = -Id = -s<sup>3</sup> <-> i² = -1<br />
<br />
Pour s<sup>1</sup>, c'est plus subtil. [B178, (25) et (26)] établissent que (s<sup>1</sup>)<sup>-1</sup> = s<sup>1</sup> et (s<sup>1</sup>)² = Id = s<sup>3</sup>. s<sup>1</sup> semble donc se comporter de la même manière que s<sup>3</sup> vis-à-vis de l'inversion et de l'élévation au carré, puisque (s<sup>3</sup>)<sup>-1</sup> = s<sup>3</sup> et (s<sup>3</sup>)² = s<sup>3</sup>. Aussi, si l'on tente de faire correspondre ces deux matrices unités à l'unité de <strong>C</strong>, on se retrouve avec une assimilation ambigüe :<br />
<br />
<span style="color:#800080">(1b) (s<sup>1</sup>)<sup>-1</sup> = s<sup>1</sup> <-> 1<sup>-1</sup> = 1 , (s<sup>1</sup>)² = Id = s<sup>3</sup> <-> 1² = 1<br />
<br />
mais aussi et en même temps,<br />
<br />
(1c) (s<sup>3</sup>)<sup>-1</sup> = s<sup>3</sup> <-> 1<sup>-1</sup> = 1 , (s<sup>3</sup>)² = Id = s<sup>3</sup> <-> 1² = 1.</span><br />
<br />
En d'autres termes, il semble y avoir <em>coïncidence</em> entre les rôles de s<sup>1</sup> et s<sup>3</sup> dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) et celui de 1 dans <strong>C</strong>. Il n'est pas possible d'attribuer s<sup>1</sup> à -1, étant donné que (-1)<sup>-1</sup> = -1. Le fait de passer du <em>corps</em> algébrique <strong>C</strong>, anneau unitaire, à l'algèbre M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) à deux unités s<sup>0</sup> et s<sup>1</sup> lève cette ambiguité, puisque non seulement s<sup>1</sup> = (0,1,1,0) se distingue nettement de s<sup>3</sup> = (1,0,0,1), mais leurs invariants ne sont pas du tout les mêmes : Tr(s<sup>1</sup>) = 0, Tr(s<sup>3</sup>) = 2, Det(s<sup>1</sup>) = -Det(s<sup>3</sup>) = -1. s<sup>1</sup> se diagonalise d'ailleurs en s<sup>2</sup> = (1,0,0,-1) (et s<sup>0</sup> en is<sup>2</sup> dans <strong>C</strong> - s<sup>0</sup> n'est pas diagonalisable dans <strong>R</strong>). Pour s'y retrouver, on se tourne vers les relations de <em>commutation</em> [B178, (28)], qui donnent les correspondances :<br />
<br />
(1d) (s<sup>0</sup>)²s<sup>1</sup> = s<sup>1</sup>(s<sup>0</sup>)² = -s<sup>1</sup> <-> i².1 = 1.i² = -1 , s<sup>0</sup>(s<sup>1</sup>)² = (s<sup>1</sup>)²s<sup>0</sup> = s<sup>0</sup> <-> i.1 = 1.i = i.<br />
<br />
<span style="color:#800080"><em>C'est donc bien </em>s<sup>1</sup> <em>qui joue le rôle de </em>1 <em>dans </em><strong>C</strong> <em>et non </em>s<sup>3</sup>.</span><br />
<br />
On peut affirmer cela pour deux raisons : les propriétés [B178, (28)] conduisent aux relations de commutativité <em>comme d'anti-commutativité</em> entre les 4 unités de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) et s<sup>3</sup> <u>n'est pas</u> fondamentale. L'ambiguité dans <strong>C</strong> est levée dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) et elle n'est pas en faveur de s<sup>3</sup>. Comme quoi, les apparences peuvent s'avérer plus que trompeuses... En résumé :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(1e) s<sup>0</sup> <-> i , s<sup>1</sup> <-> 1 , (s<sup>0</sup>)² = -(s<sup>1</sup>)² <-> i² = -1 , (s<sup>0</sup>)<sup>4</sup> = (s<sup>1</sup>)<sup>4</sup> <-> i<sup>4</sup> = 1.</span><br />
<br />
Ce qui ne conduit <u>pas</u> pour autant à s<sup>0</sup> = is<sup>1</sup>, même dans <strong>C</strong>.<br />
<br />
La structure de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) se révèle donc plus riche que celle de <strong>C</strong> et pas seulement en raison de l'isomorphisme entre M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) et <strong>C</strong><sup>2</sup>, qui l'assimilerait au corps des quaternions d'Hamilton <strong>H</strong>. En fait, on est parti du principe, somme toute assez logique, que s<sup>3</sup> était l'homologue de 1 dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) parce que s<sup>3</sup> réalise l'opération identique à l'instar de 1 qui ne change pas le résultat d'une multiplication et que s<sup>3</sup> reproduisait, le long de sa diagonale, l'unité 1 des réels. Seulement, ces arguments, qui ne sont après tout que des <em>hypothèses</em>, ne se révèlent pas seulement insuffisants, mais faux. Cela peut paraître choquant sur le plan conceptuel, mais c'est bel et bien (0,1,1,0) qui représente le nombre 1 : <em>l'anti-diagonale</em>, pas la diagonale... s<sup>1</sup> est une <em>racine carrée</em> de s<sup>3</sup>. Or, la racine carrée correspondante de 1 est 1, d'où l'ambiguïté...<br />
<br />
Ça change tout pour la suite. La loi sur l'inversion des matrices dit que, pour toute matrice M de déterminant non nul, il existe une seule matrice notée M<sup>-1</sup> de déterminant non nul (et donc, fini) telle que :<br />
<br />
(2a) M.M<sup>-1</sup> = M<sup>-1</sup>.M<br />
(2b) M.M<sup>-1</sup> = s<sup>3</sup> = (s<sup>1</sup>)²<br />
<br />
Cette dernière identité montre que s<sup>1</sup> <em>est la moyenne quadratique de </em>M <em>et de son inverse</em>. Etant donné que :<br />
<br />
(2c) Det(M)Det(M<sup>-1</sup>) = Det²(s<sup>1</sup>) = +1<br />
<br />
Le déterminant de M<sup>-1</sup> doit être du même signe que Det(M). Effectivement, Det(M<sup>-1</sup>) = 1/Det(M).<br />
<br />
Ce cas est une particularité (importante) de la relation beaucoup plus générale :<br />
<br />
(2d) M.N = P² , N.M = Q²<br />
<br />
qui montre que P et Q sont les moyennes quadratiques des matrices M et N. Si ces dernières commutent, alors Q² = P², qui n'entraîne pas systématiquement Q = +/-P. Lorsque Det(M) <> 0, N = M<sup>-1</sup>.P² et Q² = M<sup>-1</sup>.P².M est alors un changement de représentation de P² : M.Q² = P².M.<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">En fait, (2b) énonce que, pour toute matrice inversible M, il existe une seule matrice inverse M<sup>-1</sup> commutant avec M telle que s<sup>1</sup> soit la moyenne quadratique du produit de M par M<sup>-1</sup>.</span><br />
<br />
Dans <strong>R</strong>, c'est comme si l'on écrivait que, pour tout réel x non nul, xx<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup>x = 1². Or :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Il existe un moyen de ramener M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) à une structure de <u>corps algébrique</u>. Ce moyen n'est pas linéaire, mais (1e) montre qu'il est quadratique, puisque les deux unités <em>linéaires</em> de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) sont reliées par <em>l'identité quadratique</em> :<br />
<br />
(2e) (s<sup>0</sup>)² + (s<sup>1</sup>)² = (s<sup>0</sup> + s<sup>1</sup>)² = 0.<br />
<br />
qui implique l'identité <em>quartique</em> :<br />
<br />
(2f) (s<sup>0</sup>)<sup>4</sup> - (s<sup>1</sup>)<sup>4</sup> = [(s<sup>0</sup>)² + (s<sup>1</sup>)²][(s<sup>0</sup>)² - (s<sup>1</sup>)²] = [(s<sup>0</sup>)² - (s<sup>1</sup>)²][(s<sup>0</sup>)² + (s<sup>1</sup>)²] = 0.<br />
<br />
Aussi, à l'instar de "1" qui constitue la seule unité de <strong>C</strong>, s<sup>1</sup> peut être utilisée comme <em>unique</em> unité de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>), <em>moyennant les identités </em>(2e) <em>et</em> (2f) <em>ci-dessus</em>, ainsi que la relation <em>quadratique</em> (2b). Tout cela fait alors de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) une "algèbre unitaire réelle quadratique".</span><br />
<br />
On peut également considérer <strong>C</strong> comme telle, puisqu'on y inclut les réels de carrés <em>négatifs</em>. L'identité (2e) dit que la somme des carrés des unités fondamentales de <em>l'algèbre</em> M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) est nilpotente.<br />
<br />
s<sup>1</sup> ne commute pas avec toutes les matrices, mais son carré, si. C'est donc lui qu'il faut utiliser dans l'exponentiation. Je rappelle que l'exponentielle d'une matrice M de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) est la matrice définie au moyen de la série :<br />
<br />
(3a) exp(M) = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> M<sup>n</sup>/n!<br />
<br />
Pour M = 0, il convient maintenant de poser que :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3b) exp(0) = (s<sup>1</sup>)²</span><br />
<br />
Ou encore, que :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3c) M<sup>0</sup> = (s<sup>1</sup>)² pour toute matrice M de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>).</span><br />
<br />
Autrement dit, que s<sup>1</sup> est la moyenne quadratique ("corps algébrique quadratique") de l'exponentielle de la matrice nulle ou encore, de toute matrice de M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>) élevée à la puissance zéro. On a alors :<br />
<br />
(3d) exp(M) = (s<sup>1</sup>)² + S<sub>n=1</sub><sup>+oo</sup> M<sup>n</sup>/n!<br />
<br />
Soit maintenant S(x) une fonction de Jacobi à support dans <strong>R</strong> et h, la constante de Planck. On a :<br />
<br />
exp[S(x)s<sup>0</sup>/h] = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> [S(x)/h]<sup>n</sup>(s<sup>0</sup>)<sup>n</sup>/n!<br />
= {S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> (-1)<sup>n</sup>[S(x)/h]<sup>2n</sup>/(2n)!}(s<sup>1</sup>)² + {S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> (-1)<sup>n</sup>[S(x)/h]<sup>2n+1</sup>/(2n + 1)!}s<sup>0</sup> <br />
<br />
exp[S(x)s<sup>a</sup>/h] = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> [S(x)/h]<sup>n</sup>(s<sup>a</sup>)<sup>n</sup>/n! (a = 1,2,3)<br />
= {S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> [S(x)/h]<sup>2n</sup>/(2n)!}(s<sup>1</sup>)² + {S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> [S(x)/h]<sup>2n+1</sup>/(2n + 1)!}s<sup>a</sup> <br />
<br />
soit,<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4a) exp[S(x)s<sup>0</sup>/h] = cos[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + sin[S(x)/h]s<sup>0</sup> <br />
(4b) exp[S(x)s<sup>a</sup>/h] = ch[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + sh[S(x)/h]s<sup>a</sup> (a = 1,2,3)</span><br />
<br />
Ensuite,<br />
<br />
(d/dx){exp[S(x)s<sup>0</sup>/h]} = [p(x)/h]{-sin[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + cos[S(x)/h]s<sup>0</sup>}<br />
= [p(x)/h]exp[S(x)s<sup>0</sup>/h]s<sup>0</sup> <br />
(d/dx){exp[S(x)s<sup>a</sup>/h]} = [p(x)/h]{sh[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² + ch[S(x)/h]s<sup>a</sup>}<br />
= [p(x)/h]exp[S(x)s<sup>a</sup>/h]s<sup>a</sup> <br />
<br />
Donc :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4c) (d/dx){exp[S(x)s<sup>i</sup>/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)s<sup>i</sup>/h]s<sup>i</sup> (i = 0,1,2,3)</span><br />
<br />
avec p(x) = dS(x)/dx l'impulsion au point x.<br />
<br />
Il existe une différence notoire entre l'équation limite exp[S(x)/h] = 0 dans <strong>R</strong> et l'équation matricielle exp[S(x)s<sup>i</sup>/h] = 0 dans M<sub>2</sub>(<strong>R</strong>). La première implique que S(x) -> -oo ; la seconde, que exp[S(x)s<sup>i</sup>/h] soit la matrice nulle. Or, s<sup>0</sup> et s<sup>1</sup> ne sont pas diagonales, mais <em>anti</em>-diagonales, tandis que (s<sup>1</sup>)² = s<sup>3</sup> et s<sup>2</sup> = s<sup>0</sup>s<sup>1</sup> sont diagonales. Par conséquent, dans le cas de s<sup>0</sup> :<br />
<br />
exp[S(x)s<sup>0</sup>/h] = 0 => cos[S(x)/h] = 0 <u>et</u> sin[S(x)/h] = 0.<br />
<br />
On sait pertinnemment que ces deux relations ne peuvent <em>jamais</em> être satisfaites simultanément. Par conséquent, exp[S(x)s<sup>0</sup>/h] ne peut jamais tendre vers la matrice nulle. En revanche, cos(.) et sin(.) restent <em>toujours</em> à l'intérieur de l'intervalle [-1,+1], donc (d/dx){exp[S(x)s<sup>0</sup>/h]}, elle, peut tendre vers zéro si p(x) -> 0.<br />
<br />
Pour s<sup>1</sup> :<br />
<br />
exp[S(x)s<sup>1</sup>/h] = 0 => ch[S(x)/h] = 0 <u>et</u> sh[S(x)/h] = 0.<br />
<br />
Or, ch(.) ne s'annule jamais. Sa valeur minimale est +1. Lorsque S(x) -> +oo, ch[S(x)/h] et sh[S(x)/h] diverge exponentiellement. Lorsque S(x) -> -oo, ch[S(x)/h] -> +oo, sh[S(x)/h] -> -oo, mais ces deux divergences <em>ne se compensent plus</em>, car ch[S(x)/h] figure le long de la diagonale de exp[S(x)s<sup>1</sup>/h] et sh[S(x)/h], le long de son anti-diagonale. Le résultat est donc la matrice limite (+oo)(+1,-1,-1,+1), qui est <em>divergente</em>. Il en ira de même pour la matrice dérivée (d/dx){exp[S(x)s<sup>1</sup>/h]}, car p(x) -> 0 <em>moins vite</em> que les fonctions hyperboliques divergeront.<br />
<br />
Dans le cas de s<sup>2</sup> :<br />
<br />
exp[S(x)s<sup>2</sup>/h] = [e<sup>S(x)/h</sup>,0,0,e<sup>-S(x)/h</sup>]<br />
<br />
De nouveau, l'une des deux composantes diagonales diverge forcément lorsque S(x) -> oo. Si S(x) -> +oo, le résultat est la matrice (+oo,0,0,0) ; si S(x) -> -oo, (0,0,0,+oo). Idem : p(x) ne tendra jamais vers zéro aussi vite que l'une des exponentielles divergera.<br />
<br />
Il n'y a vraiment que s<sup>3</sup> qui puisse converger lorsque S(x) diverge et encore, sous condition, puisque :<br />
<br />
exp[S(x)s<sup>3</sup>/h] = exp[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² -> 0 pour S(x) -> -oo.<br />
<br />
Dans ce dernier cas, (d/dx){exp[S(x)s<sup>3</sup>/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)/h](s<sup>1</sup>)² convergera lorsque S(x) -> -oo, même si p(x) devait diverger.<br />
B 187 : PROPAGATEURS DANS M2(R), INTRODUCTIONB 186 : Conclusion finale sur la construction théorique
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Quelques remarques avant de poursuivre.<br />
<br />
1) J'ai tenu à faire les calculs en l'absence d'observateur, pour être certain que la mesure n'influe pas sur les résultats. Nous allons poursuivre sur cette voie. Cadre et champs seront donc considérés comme des continuums et on pourra poser formellement que les étalons sont nuls après calcul des taux de variation, ce qui simplifie considérablement les expressions. Mais ce n'est pas dans ce but que je me suis placé. Il s'agit vraiment de comprendre comment les choses se passent d'elles-mêmes, quand il n'y a personne pour les observer. C'est dans ce contexte, et uniquement celui-ci, que l'approximation de Leibnitz se justifie pleinement.<br />
<br />
2) Quand on utilise la RG, il faut faire bien attention à la <em>direction</em> dans laquelle on effectue les calculs : si l'on part d'un champ de contraintes donné, c'est bien la métrique <em>avant</em> déformation qu'il faut utiliser pour remonter à la forme de la source ; mais, si l'on part de cette forme et que l'on cherche le champ de contraintes appliquées correspondant, comme c'est le cas ici, c'est la métrique <em>après</em> déformation qu'il faut considérer.<br />
<br />
3) Alors, j'ai lu, dans les ouvrages consacrés à la théorie gravitationnelle d'Einstein que, pour être physiques, les potentiels métriques doivent converger à l'infini spatial, sous peine de ne pas représenter un véritable champ, mais de simples effets inertiels. Dans le contexte de la RG, c'est un peu absurde. Placez-vous dans un référentiel (x,y) où le g<sub>ik</sub> est diagonal (pour simplifier). Alors, Det(g) = g<sub>00</sub>g<sub>11</sub> et g<sup>00</sup> = 1/g<sub>00</sub>, g<sup>11</sup> = 1/g<sub>11</sub>. Et ceci reste valable en toute dimension. Par conséquent, si g<sub>ik</sub> -> 0 pour (x² + y²)<sup>½</sup> -> oo, g<sup>ik</sup> diverge (et inversement). Or, la RG originelle d'Einstein se base sur le principe d'équivalence de Newton, qui dit qu'en tout point de l'espace où agit un champ de gravitation, il existe un référentiel dans lequel le g<sub>ik</sub> est diagonalisable. Vous en déduisez ?... Que l'exigence de la théorie des champs considérés comme non liés au cadre devient absurde en RG... Pourquoi ? Une fois de plus, parce que l'on part du principe selon lequel les solutions DANS la source se propagent A L'EXTERIEUR de celle-ci et doivent donc diminuer d'intensité au fur et à mesure que l'on s'éloigne de leur centre d'émission...<br />
<br />
Cette dernière remarque vient à point nommer. Chez Maxwell comme chez Einstein ou, plus généralement encore, Yang et Mills, les sources émettent des "ondes" qui se propagent dans l'espace-temps classique 4D. Elles servent "d'émetteurs" à d'éventuels "récepteurs". Mais qu'appelle-t-on des "ondes" ? Vous remarquerez que tous ces modèles se basent sur des (systèmes d') équations aux dérivées partielles du 2nd ordre hyperboliques en les "potentiels de champ". Même la RG n'y échappe pas et c'est d'ailleurs la raison pour laquelle Einstein s'est tourné vers la géométrie de Riemann : non seulement pour étendre le Principe d'Equivalence de Newton, mais aussi pour imiter le modèle maxwellien de l'électromagnétisme. Il s'agissait alors de décrire une "source" émettant des "potentiels de gravité" qui se propageraient ensuite dans l'espace-temps extérieur à cette "source" sous forme "d'ondes gravitationnelles".<br />
<br />
Toute onde est évidemment un signal. Mais tout signal est loin d'être toujours une onde.<br />
<br />
Si vous prenez "l'équation de la chaleur", qui est de type parabolique, vous débouchez sur un processus, non plus de <em>propagation</em>, mais de <em>diffusion</em>. L'information continue d'être transmise, mais plus sous la forme d'une onde. Enfin, si : par extension, on a coutume de l'appeler onde "de diffusion". Mais ses caractéristiques sont très différentes.<br />
<br />
Si vous prenez une équation, toujours du 2nd ordre, mais de type elliptique, vous obtenez un "potentiel". Ce dernier cas est particulièrement probant dans les espaces quantiques. Prenez 2<sup>2s</sup> coordonnées quantiques z<sup>i</sup> = x<sup>i</sup> + iy<sup>i</sup>. L'opérateur invariant du 2nd ordre :<br />
<br />
(1) d²/dz<sup>i</sup>dz<sub>i</sub> = Id<sup>ij</sup>d²/dz<sup>i</sup>dz<sup>j</sup> = (d²/dx<sup>i</sup>dx<sub>i</sub> - d²/dy<sup>i</sup>dy<sub>i</sub>) + 2id²/dx<sup>i</sup>dy<sub>i</sub> <br />
= (d²/dx<sup>i</sup>dx<sub>i</sub> - d²/dy<sup>i</sup>dy<sub>i</sub>) + ½ i[(d/dx<sup>i</sup> + d/dy<sup>i</sup>)(d/dx<sub>i</sub> + d/dy<sub>i</sub>) - (d/dx<sup>i</sup> - d/dy<sup>i</sup>)(d/dx<sub>i</sub> - d/dy<sub>i</sub>)]<br />
<br />
donne automatiquement naissance à des opérateurs classiques hyperboliques, ce qui veut dire qu'un <em>potentiel</em> quantique (le membre de gauche est elliptique) produit systématiquement deux <em>ondes</em> classiques. Il devient dès lors inutile de rechercher des "propagateurs de type ondulatoire" dans un <strong>C</strong><sup>p(s-½),q(s-½)</sup>, puisque le carré de l'unité imaginaire fait le travail : du point de vue classique, vous retrouverez la même situation que dans un <strong>C</strong><sup>D(s-½)</sup>. Et ceci s'explique aisément. Si vous exprimez chaque z<sup>i</sup> en représentation polaire classique z<sup>i</sup> = |z|<sup>i</sup>exp(iksi<sup>i</sup>) et que vous faites varier l'angle ksi<sup>i</sup> tout en conservant l'amplitude |z|<sup>i</sup> constante, vous débouchez sur deux oscillations classiques :<br />
<br />
(2) x<sup>i</sup>(ksi<sup>i</sup>) = |z|<sup>i</sup>cos(ksi<sup>i</sup>) et y<sup>i</sup>(ksi<sup>i</sup>) = |z|<sup>i</sup>sin(ksi<sup>i</sup>)<br />
<br />
de même amplitude, mais en quadrature de phase. Ainsi, que vous vous placiez dans un espace quantique ou dans un espace-temps quantique, classiquement, vous obtiendrez des "ondes".<br />
<br />
Vous voyez d'ailleurs que la "dualité onde-corpuscule" à la base de la "mécanique ondulatoire" correspond bien aux espaces complexes : si vous considérez le <em>nombre complexe</em> z<sup>i</sup>, il représente un "corpuscule" (ou, tout du moins, sa projection sur le i-ème axe) ; dès que vous le décomposerez en composantes <em>classiques</em> et que vous ferez varier l'angle ksi<sup>i</sup>, vous obtiendrez des "oscillations de base". Vous pourrez faire de même avec n'importe quelle fonction quantique F(z) des variables z<sup>i</sup>, puisque celle-ci se décomposera classiquement toujours en :<br />
<br />
(3a) F(z) = |F|(x,y)exp[iPHI(x,y)]<br />
<br />
A gauche, un "corpuscule image" F = F(z) ; à droite, deux "paquets d'ondes de base" classiques,<br />
<br />
(3b) F<sup>0</sup>(x,y) = |F|(x,y)cos[PHI(x,y)] et F<sup>1</sup>(x,y) = |F|(x,y)sin[PHI(x,y)]<br />
<br />
dès que vous ferez varier PHI(x,y).<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">La "quantique", c'est de la géométrie <em>complexe</em>, parce que l'unité imaginaire i est la seule quantité "purement quantique".</span><br />
<br />
Tout le reste, c'est de la statistique, liée à la mesure et à l'observabilité des processus. Schrödinger, par exemple, c'est de la statistique <em>parce que l'amplitude du signal est une amplitude de probabilité de présence</em>. Sinon, c'est de la diffusion. Sauf qu'elle n'est plus classique, en raison de la présence de l'unité imaginaire :<br />
<br />
(4a) d/dt = i(<s>h</s>/2m)d²/dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub> (a = 1,2,3)<br />
<br />
C'est de la diffusion <em>quantique</em>. Tout s'explique : s'il y a i, c'est du quantique ; sinon, c'est du classique. Dans la diffusion moléculaire classique, j'ai un coefficient de diffusion D <u>réel</u>, en m²/s, et une équation parabolique :<br />
<br />
(4b) d/dt = Dd²/dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub> (a = 1,2,3)<br />
<br />
Chez Schrödinger, j'ai D = i(<s>h</s>/2m) : un coefficient de diffusion <em>purement imaginaire</em>. La transmission de l'information se fait suivant le même processus, mais plus du tout de la même manière : si vous élevez l'opérateur d/dt au carré dans les deux expressions ci-dessus, vous obtenez, pour le classique,<br />
<br />
(4c) d²/dt² - D²d<sup>4</sup>/(dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub>)² = 0<br />
<br />
et pour le quantique,<br />
<br />
(4d) d²/dt² + (<s>h</s>/2m)²d<sup>4</sup>/(dx<sup>a</sup>dx<sub>a</sub>)² = 0<br />
<br />
Ce qui était monotone devient oscillant et ce qui était oscillant devient monotone.<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Suivant l'équation à laquelle obéit un "potentiel de champ", l'information sera transmise de telle ou telle manière. Mais elle sera toujours transmise, du fait que ce potentiel établit une <em>corrélation fonctionnelle</em> (pas nécessairement statistique) entre deux points ou objets distants du même espace.</span><br />
<br />
Tiens, un exemple caractéristique, même en espace classique : la vitesse de déformation du cadre sous les contraintes imposées par une source est ce<sub>i</sub><sup>j</sup>(x) = cdX<sup>j</sup>(x)/dx<sup>i</sup>. C'est aussi la vitesse de déplacement d'un point x au point image x' = X(x). Pour que toutes ces vitesses restent =< c, il faut que 0 =< |e<sub>i</sub><sup>j</sup>(x)| =< 1 : c'est tellement restrictif que ça confine presque à l'absurde... ça exige que l'espace se contracte dans <em>toutes</em> ses directions. Imposer la causalité partout est beaucoup trop contraignant. Et vouloir la préserver en invoquant des arguments statistiques ne me semble pas être la solution.<br />
<br />
En conclusion, les choses semblent bien plus simples qu'elles n'y paraissent de prime abord. Toutes les difficultés techniques que nous avons rencontrés pendant des années provenaient exclusivement du fait que la construction du corps des nombres complexes était mal faite, ce qui nous a obligé à travailler en géométrie réelle, c'est-à-dire, classique. La réparation de <strong>C</strong> permet à présent de transférer les modèles d'interaction entre objets des espaces classiques <strong>R</strong><sup>D(s)</sup> aux espaces quantiques <strong>C</strong><sup>D(s - ½)</sup> avec, rappelons-le, D(s) = 2<sup>2s+1</sup> et donc D(s - ½) = 2<sup>2s</sup>. Si les phénomènes dits "parapsychiques" ont bien une origine quantique, nous devrions être en mesure de leur trouver une explication ou de les infirmer. En effet, contrairement aux espaces classiques, qui n'acceptent que des surfaces positives ou nulles, les espaces quantiques autorisent les "surfaces négatives" en raison de i² = -1. De telles surfaces n'existent évidemment pas en réalité, elles correspondent à des surfaces <em>purement quantiques</em>. Mais l'omniprésence de l'unité quantique i dans les cadres comme dans les champs et les objets fait que les espaces quantiques "bouclent sur eux-mêmes" : ils sont <em>auto-suffisants</em>, contrairement aux espaces classiques. Cela veut dire que, si des phénomènes physiques doivent s'y produire, alors ces phénomènes sont forcément explicables par la quantique, i.e. par la géométrie complexe. Sinon, il y a de très fortes chances qu'ils n'existent pas et qu'il faille chercher la réponse au niveau comportemental.<br />
<br />
C'est un critère de sélection fiable, mais assez sévère : "vous êtes quantiques ou vous sortez de l'imagination", sans jeu de mot.B 186 : Conclusion finale sur la construction théoriqueB 185 : DIMENSIONS ET CORDES QUANTIQUES
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La SEULE grandeur quantique est i, l'unité imaginaire, la racine carrée de -1. Toutes les autres en découlent. Vous prenez un nombre complexe quelconque z = x + iy = re<sup>iksi</sup>, toutes les quantités sont réelles, i.e. "classiques", de carrés positifs, seule i ne l'est pas. Nous allons donc commencer par étudier la déformation suivante de l'espace classique <strong>R</strong><sup>2</sup> :<br />
<br />
(1) x' = xch(ky) , y' = xsh(ky) , x >= 0 , k <> 0,<br />
<br />
soit x<sup>0</sup> = x, x<sup>1</sup> = y, x'<sup>0</sup> = x', x'<sup>1</sup> = y'. Cette transformation n'étant pas linéaire en y, on a forcément de la courbure :<br />
<br />
e<sub>i</sub><sup>j</sup> = dx'<sup>j</sup>/dx<sup>i</sup> =><br />
<br />
(2a) e<sub>0</sub><sup>0</sup> = ch(ky) , e<sub>0</sub><sup>1</sup> = sh(ky) , e<sub>1</sub><sup>0</sup> = kxsh(ky) , e<sub>1</sub><sup>1</sup> = kxch(ky) <br />
(2b) Det(e) = kx<br />
<br />
g<sub>ij</sub> = Id<sub>kl</sub>e<sub>i</sub><sup>k</sup>e<sub>j</sub><sup>l</sup> = e<sub>i</sub><sup>0</sup>e<sub>j</sub><sup>0</sup> + e<sub>i</sub><sup>1</sup>e<sub>j</sub><sup>1</sup> =><br />
<br />
(2c) g<sub>00</sub> = ch(2ky) , g<sub>01</sub> = kxsh(2ky) , g<sub>11</sub> = k²x²ch(2ky) <br />
(2d) Det(g) = k²x²<br />
<br />
(2e) g<sup>00</sup> = ch(2ky) , g<sup>01</sup> = -sh(2ky)/kx , g<sup>11</sup> = ch(2ky)/k²x²<br />
<br />
C<sub>ij,k</sub> = ½ (-d<sub>k</sub>g<sub>ij</sub> + d<sub>i</sub>g<sub>jk</sub> + d<sub>j</sub>g<sub>ik</sub>) =><br />
<br />
(3) C<sub>00,0</sub> = 0 , C<sub>01,0</sub> = ksh(2ky) , C<sub>11,0</sub> = k²xch(2ky)<br />
C<sub>00,1</sub> = 0 , C<sub>01,1</sub> = k²xch(2ky) , C<sub>11,1</sub> = k<sup>3</sup>x²sh(2ky)<br />
<br />
<span dir="LTR">R<sub>0101</sub> = d<sub>0</sub>C<sub>11,0</sub> - d<sub>1</sub>C<sub>01,0</sub> + g<sup>00</sup>[C<sub>00,0</sub>C<sub>11,0</sub> - (C<sub>01,0</sub>)²]</span> <span dir="LTR">+ g<sup>11</sup>[C<sub>00,1</sub>C<sub>11,1</sub> - (C<sub>01,1</sub>)²] =></span><br />
<br />
<span dir="LTR">(4a) R<sub>0101</sub> = -k²ch²(2ky)[ch(2ky) + 1]</span><br />
<br />
R<sub>ik</sub> = g<sup>jl</sup>R<sub>ijkl</sub> = g<sup>00</sup>R<sub>i0k0</sub> + g<sup>11</sup>R<sub>i1k1</sub> =><br />
<br />
(4b) R<sub>00</sub> = <span dir="LTR">-ch<sup>3</sup>(2ky)[ch(2ky) + 1]/x² , R<sub>01</sub> = 0 , R<sub>11</sub> = -k²ch<sup>3</sup>(2ky)[ch(2ky) + 1]</span><br />
<br />
R = g<sup>ik</sup>R<sub>ik</sub> = g<sup>00</sup>R<sub>00</sub> + g<sup>11</sup>R<sub>11</sub> =><br />
<br />
(4c) R = -2<span dir="LTR">ch<sup>4</sup>(2ky)[ch(2ky) + 1]/x²</span><br />
<br />
La courbure de Riemann et ses invariants sont tous négatifs. Elles ne s'annulent jamais, excepté asymptotiquement à l'infini de x. A noter que R<sub>11</sub> ne dépend pas de x.<br />
<br />
En dimension classique 2, le tenseur contraintes de la source s'exprime en J/m², <span dir="LTR">ce qui donne un coefficient de couplage en J<sup>-1</sup>, soit 1/m<sub>pl</sub>c² :<br />
<br />
(5a) T<sub>ik</sub> = m<sub>pl</sub>c²R<sub>ik</sub> <br />
(5b) T<sub>00</sub> = -m<sub>pl</sub>c²ch<sup>3</sup>(2ky)[ch(2ky) + 1]/x² < 0<br />
(5c) T<sub>11</sub> = -m<sub>pl</sub>c²k²ch<sup>3</sup>(2ky)[ch(2ky) + 1] < 0.<br />
<br />
Les contraintes normales sont négatives, on a affaire à une dilatation.</span><br />
<br />
Maintenant, on effectue la substitution k -> ik dans (1). On trouve, successivement :<br />
<br />
(6) x' = xcos(ky) , y' = ixsin(ky) <br />
<br />
(7a) e<sub>0</sub><sup>0</sup> = cos(ky) , e<sub>0</sub><sup>1</sup> = isin(ky) , e<sub>1</sub><sup>0</sup> = -kxsin(ky) , e<sub>1</sub><sup>1</sup> = ikxcos(ky) <br />
(7b) Det(e) = ikx<br />
<br />
(7c) g<sub>00</sub> = cos(2ky) , g<sub>01</sub> = -kxsin(2ky) , g<sub>11</sub> = -k²x²cos(2ky) <br />
(7d) Det(g) = -k²x²<br />
<br />
(7e) g<sup>00</sup> = cos(2ky) , g<sup>01</sup> = sin(2ky)/kx , g<sup>11</sup> = -cos(2ky)/k²x²<br />
<br />
(8) C<sub>00,0</sub> = 0 , C<sub>01,0</sub> = -ksin(2ky) , C<sub>11,0</sub> = -k²xcos(2ky)<br />
C<sub>00,1</sub> = 0 , C<sub>01,1</sub> = -k²xcos(2ky) , C<sub>11,1</sub> = k<sup>3</sup>x²sin(2ky)<br />
<br />
<span dir="LTR">(9a) R<sub>0101</sub> = k²cos²(2ky)[cos(2ky) + 1] >= 0</span><br />
<br />
(9b) R<sub>00</sub> = <span dir="LTR">-cos<sup>3</sup>(2ky)[cos(2ky) + 1]/x² , R<sub>01</sub> = 0 , R<sub>11</sub> = k²cos<sup>3</sup>(2ky)[cos(2ky) + 1]</span><br />
<br />
(9c) R = -2<span dir="LTR">cos<sup>4</sup>(2ky)[cos(2ky) + 1]/x² =< 0</span><br />
<br />
(10a) T<sub>00</sub> = <span dir="LTR">-m<sub>pl</sub>c²cos<sup>3</sup>(2ky)[cos(2ky) + 1]/x²<br />
(10b) T<sub>11</sub> = m<sub>pl</sub>c²k²cos<sup>3</sup>(2ky)[cos(2ky) + 1]<br />
<br />
Cette fois, la courbure de Riemann est positive ou nulle, les courbures de Ricci ne sont plus de signe défini et la courbure de Gauss est négative ou nulle. Toutes ces courbures s'annulent pour :<br />
<br />
(11) ky = (2n + 1)pi/4 ou ky = (2n + 1)pi/2</span><br />
<br />
Elles vont alternativement changer de signe, entrainant une alternance de dilatations et de compressions.<br />
<br />
Voilà la différence entre le classique et le quantique : la transformation (1) est dans <strong>R</strong><sup>2</sup>, mais pas (6), qui se trouve dans <strong>C</strong>. La source (5) dilate <strong>R</strong><sup>2</sup> et a pour enveloppe l'hyperbole x'² - y'² = r². Elle n'est donc pas compacte et ne peut représenter une source physique réelle. Au contraire, la source (10) est oscillante. Elle n'est plus de dimension classique 2, mais de dimension quantique 1, ce qui fait que son enveloppe (6) a en fait pour équation :<br />
<br />
(12) x' + y' = xe<sup>iky</sup> <br />
<br />
avec x' classique, mais y' quantique. Classiquement, c'est un disque de rayon x vibrant à la pulsation k. Du point de vue quantique, x' + y' = z' est l'équation d'une <em>droite</em>. La source est donc assimilable à une <em>corde quantique</em>. Au gré de ses pulsations, elle impose des compressions et des dilatations dans chaque direction du plan <strong>R</strong><sup>2</sup>. <em>Elle déforme alternativement l'espace classique </em>2D. Côté énergies classiques, B 168 fournit une équivalence :<br />
<br />
(13a) E<sub>ik</sub> = m<sub>pl</sub>c²g<sub>ik</sub> <br />
(13b) E<sub>00</sub> = m<sub>pl</sub>c²cos(2ky) , E<sub>01</sub> = 0 , E<sub>11</sub> = -m<sub>pl</sub>c²k²x²cos(2ky)<br />
<br />
Si l'énergie appliquée à la direction x<sup>0</sup> = x, i.e. le long de la distance radiale, reste bornée entre -E<sub>pl</sub> et +E<sub>pl</sub>, celle appliqué dans la direction x<sup>1</sup> = y, associée à la <em>phase</em> de l'onde, croit comme le carré de la distance radiale en valeur absolue (on trouve 0 =< |E<sub>11</sub>| =< m<sub>pl</sub>c²k²x²). Or, x représente la "longueur" de la corde. Donc, plus celle-ci "s'allonge", plus m<sub>pl</sub>c²k²x² <em>augmente</em>. Pour une "longueur" x donnée, m<sub>pl</sub>c²k²x² augmente également comme le carré de la pulsation : plus la corde de longueur x fixée vibre rapidement, plus l'énergie m<sub>pl</sub>c²k²x² est importante.<br />
<br />
La transformation (12) est ce qui définit en fait une dimension quantique. On a bien amplitude x et phase ky. L'onde classique correspondante est élémentaire. Physiquement, (12) semble donc faire le parallèle entre "corde quantique" et "dimension quantique". Dans un <strong>C</strong><sup>D(s-½)</sup>, vous trouvez D(s - ½) = 2<sup>2s</sup> cordes quantiques de la forme (12), d'amplitudes x<sup>i</sup> et de phases ksi<sup>i</sup>. Comme on dénombre également 2<sup>2s</sup> coordonnées y<sup>i</sup>, le nombre d'onde k est remplacé par un tenseur k<sub>i</sub><sup>j</sup>, de manière à ce que l'on ait :<br />
<br />
(14) ksi<sup>i</sup> = k<sup>i</sup><sub>j</sub>y<sup>j</sup> <br />
<br />
Les dimensions sont indépendantes, on conçoit donc que les cordes vibrent indépendamment les unes des autres.B 185 : DIMENSIONS ET CORDES QUANTIQUESB 184 : SUR LES ACCROISSEMENTS FINIS
http://doclabidouille.blogs.fr/page_2.html#a639053
Cette bidouille a pris du temps pour voir le jour, parce que j'ai encore essayé nombre de solutions de replâtrage. Je suis, en effet, retombé sur du travail bâclé... Je vais finir par passer pour un éternel insatisfait... Mais, quand c'est faux, c'est faux. Rien ne sert de se casser la tête à rechercher des moyens plus généraux de préserver l'acquis en cause.<br />
<br />
Je veux parler, cette fois, de [B182, (14)]. Considérons l'équation plus générale :<br />
<br />
(1a) f<sup>(1)</sup>(x,dx) = g(x,dx)<br />
<br />
où l'étalon dx de la variable apparaît explicitement (ou pas). L'analyse fonctionnelle dit que g est la dérivée de f et que f est la primitive de g (en détermination principale au moins). Lorsque g est la fonction identiquement nulle, nous avons vu en seconde partie de B 182 que la solution de :<br />
<br />
(1b) f<sup>(1)</sup>(x,dx) = 0 pour tout x et tout dx dans <strong>R</strong>,<br />
<br />
N'EST PAS la fonction constante. En revanche, si f EST une fonction constante, ALORS f est automatiquement solution de (1b). Il en ressort que :<br />
<br />
<span style="color:#FF0000">La proposition "f<sup>(1)</sup>(x) = 0 <=> f(x) = cte <em>pour tout x et tout dx dans</em> <strong>R</strong>" est fausse en général.</span><br />
<br />
En effet, elle ne peut, au mieux, être vrai que pour les x multiples entiers du dx, ce qui restreint le support de f à l'espace arithmétique <strong>Z</strong>|dx|. Or, Card(]-|dx|,+|dx|[) est du même ordre que Card(<strong>R</strong>), c'est-à-dire, exponentiellement plus grand que celui de Card(<strong>Z</strong>|dx|) = Card(<strong>Z</strong>), <em>même si </em>dx <em>est une grandeur infinitésimale</em>. Cela veut dire que les points de <strong>R</strong> où la solution de (1) est effectivement constante sont <em>exceptionnels et dénombrables</em>.<br />
<br />
Ce n'est donc pas le fait que l'on se donne un dx quelconque, <em>même chez Leibnitz, c'est faux</em>. Et, puisque dx reste fini :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">La solution de (1b) est une fonction périodique de période dx.</span><br />
<br />
Point. J'ai trouvé des échappatoires, pour tenter de sauver le calcul différentiel et intégral, c'est inutile : ce qui n'est vrai qu'en particulier est faux en général. C'est la logique mathématique.<br />
<br />
La meilleure des preuves réside dans la signification géométrique de l'intégrale donnée en analyse fonctionnelle : elle est censée représenter la surface comprise entre la courbe [ici, g(x) = Lim<sub>dx->0</sub> g(x,dx)], l'axe des x et la valeur de cette g(x) en deux points distants x<sub>1</sub> et x<sub>2</sub> (avec x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub>). Si g est la fonction NULLE... alors, son graphe s'étend sur tout l'axe des x (il ne peut en être autrement). Comment voulez-vous, dès lors, que la surface comprise entre cet axe et lui-même soit CONSTANTE (éventuellement NON NULLE) ?... Une fois encore, comment une telle absurdité a-t-elle pu échapper à la sagacité des matheux ?... C'est incompréhensible. Toujours est-il que le fait est là : la relation f(x + dx) = f(x) ne fait que traduire le report de la valeur de f en x à tous les intervalles de longueur dx. Rien d'autre. Vous avez donc f(0) = f(dx) = f(ndx) pour n dans <strong>Z</strong> mais, par exemple, f(dx/2) = f(3dx/2) = f[(n + ½)dx]. Il est clair que la valeur f(0) est généralement différente de f(dx/2), à moins de poser <em>formellement</em> que dx = 0, ce qui 1) n'est pas l'hypothèse posée par Leibnitz et 2) conduit seulement à l'identité triviale f(x) = f(x) qui ne nous apprend absolument rien sur f(x).<br />
<br />
Vous savez que je n'aime pas faire des articles trop longs, aussi allons-nous décomposer le travail. Dans cette bidouille, nous n'allons établir que des résultats sur des fonctions de base : ce qui vient remplacer les monômes x<sup>n</sup>/n! pour n dans <strong>N</strong>, la fonction exponentielle et la fonction logarithme.<br />
<br />
La primitive d'ordre n de 1 donne, successivement :<br />
<br />
M<sub>0</sub>(x,dx) = 1 pour tout x et tout dx dans <strong>R</strong> (fonction constante) ;<br />
M<sub>1</sub>(x,dx) = x + f<sub>0</sub>(x,dx) ;<br />
M<sub>2</sub>(x,dx) = x(x - dx)/2 + f<sub>0</sub>(x,dx)x + f<sub>1</sub>(x,dx) ;<br />
M<sub>3</sub>(x,dx) = x(x - dx)(x - 2dx)/3! + f<sub>0</sub>(x,dx)x(x - dx)/2 + f<sub>1</sub>(x,dx)x + f<sub>2</sub>(x,dx), etc.<br />
<br />
Soit, en notant P[M<sub>n</sub>(x,dx)] la partie principale de M<sub>n</sub>(x,dx) :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2a) M<sub>n+1</sub>(x,dx) = [P<sub>p=0</sub><sup>n</sup> (x - pdx)]/n! + S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> f<sub>p</sub>(x,dx)P[M<sub>n-p</sub>(x,dx)]<br />
= P[M<sub>n+1</sub>(x,dx)] + S<sub>p=0</sub><sup>n</sup> f<sub>p</sub>(x,dx)P[M<sub>n-p</sub>(x,dx)]</span><br />
<br />
où les f<sub>p</sub>(x,dx) sont toutes de période dx. On a des propriétés intéressantes, la première étant :<br />
<br />
(2b) M<sub>n+1</sub><sup>(1)</sup>(x,dx) = M<sub>n</sub>(x,dx) <=> M<sub>n+1</sub>(x,dx) primitive d'ordre n de x.<br />
<br />
Puis, par récurrence inverse :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2c) M<sub>n+1</sub><sup>(p)</sup>(x,dx) = M<sub>n+1-p</sub>(x,dx) , 0 =< p =< n<br />
(2d) M<sub>n+1</sub><sup>(n+1)</sup>(x,dx) = M<sub>0</sub>(x,dx) = 1<br />
(2e) M<sub>n+1</sub><sup>(p)</sup>(x,dx) = 0 pour tout p > n + 1.</span><br />
<br />
Enfin, en différences finies, la dérivée d'une fonction de fonction continuant d'être le produit des dérivées,<br />
<br />
{1/P[M<sub>n</sub>(y,dy)]}<sup>(1)</sup> = -P[M<sub>n-1</sub>(y,dy)]/P[M<sub>n</sub>(y,dy)]{P[M<sub>n</sub>(y,dy)] - dP[M<sub>n</sub>(y,dy)]}<br />
= -P[M<sub>n-1</sub>(y,dy)]/P[M<sub>n</sub>(y,dy)]{P[M<sub>n</sub>(y,dy)] - P[M<sub>n-1</sub>(y,dy)]dy}<br />
= -1/[y - (n - 1)dy](y - ndy)P[M<sub>n-1</sub>(y,dy)]<br />
= -1/P[M<sub>n+1</sub>(y,dy)]<br />
<br />
d'où il ressort très facilement que :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(2f) {1/P[M<sub>n</sub>(y,dy)]}<sup>(p)</sup> = (-1)<sup>p</sup>/P[M<sub>n+p</sub>(y,dy)] pour tout p dans <strong>N</strong>.</span><br />
<br />
Venons-en maintenant à l'exponentielle [B182, (15b)] :<br />
<br />
(3a) exp<sub>+</sub>(x,dx) = [1 + k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup> , k de période dx.<br />
<br />
Cette fonction, pourtant beaucoup plus complexe que e<sup>kx</sup>, k constante, continue de vérifier :<br />
<br />
(3b) exp<sub>+</sub><sup>(1)</sup>(x,dx) = k(x,dx)exp<sub>+</sub>(x,dx)<br />
<br />
Vous en déduisez par simple récurrence que :<br />
<br />
(3c) exp<sub>+</sub><sup>(n)</sup>(x,dx) = k<sup>n</sup>(x,dx)exp<sub>+</sub>(x,dx) pour tout n dans <strong>N</strong>,<br />
<br />
et donc que les modes de exp(x,dx) sont les puissances entières de k(x,dx). En effet :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3d) exp<sub>+</sub>(x,dx) = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> k<sup>n</sup>(x,dx)P[M<sub>n</sub>(x,dx)]</span><br />
<br />
vous donne bien,<br />
<br />
exp<sub>+</sub><sup>(1)</sup>(x,dx) = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> k<sup>n</sup>(x,dx){P[M<sub>n</sub>(x,dx)]}<sup>(1)</sup> = S<sub>n=1</sub><sup>+oo</sup> k<sup>n</sup>(x,dx)P[M<sub>n-1</sub>(x,dx)]<br />
= S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> k<sup>n+1</sup>(x,dx)P[M<sub>n</sub>(x,dx)] = k(x,dx)exp<sub>+</sub>(x,dx)<br />
<br />
en vertu de (2b) sur les parties principales des M<sub>n</sub>(x,dx). La récurrence va de soi : on retombe bien sur (3c).<br />
<br />
Il serait toutefois préférable de raisonner dans <strong>C</strong> plutôt que dans <strong>R</strong>, afin que exp(x,dx) soit définie partout.<br />
<br />
Ce qui remplace e<sup>-kx</sup> = 1/e<sup>kx</sup> est :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3e) exp<sub>-</sub>(x,dx) = [1 - k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup> = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> (-1)<sup>n</sup>k<sup>n</sup>(x,dx)P[M<sub>n</sub>(x,dx)]</span><br />
<br />
<span style="color:#800080">Il y a donc DEUX fonctions exponentielles et non une seule, selon le signe qui se trouve devant k.</span><br />
<br />
A l'aide de exp<sub>+</sub> et exp<sub>-</sub> on peut étendre les fonctions trigonométriques :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3f) ch(x,dx) = ½ [exp<sub>+</sub>(x,dx) + exp<sub>-</sub>(x,dx)]<br />
= ½ {[1 + k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup> + [1 - k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup>} </span><br />
<span style="color:#0000FF"> = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> k<sup>2n</sup>(x,dx)P[M<sub>2n</sub>(x,dx)]</span><br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(3g) sh(x,dx) = ½ [exp<sub>+</sub>(x,dx) - exp<sub>-</sub>(x,dx)]<br />
= ½ {[1 + k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup> - [1 - k(x,dx)dx]<sup>x/dx</sup>} </span><br />
<span style="color:#0000FF"> = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> k<sup>2n+1</sup>(x,dx)P[M<sub>2n+1</sub>(x,dx)]</span><br />
<br />
Ces exponentielles sont inversibles. D'après (3b) et (3e), de y<sub>+</sub> = exp<sub>+</sub>(x,dx) et y<sub>-</sub> = exp<sub>-</sub>(x,dx), on tire :<br />
<br />
dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub> = -dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub> = k(x,dx)dx<br />
<br />
d'où,<br />
<br />
Ln(y<sub>+</sub>) = (x/dx)Ln(1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>) = (x/dx)Ln(1 - dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>)<br />
Ln(y<sub>-</sub>) = (x/dx)Ln(1 + dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>) = (x/dx)Ln(1 - dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>)<br />
<br />
et<br />
<br />
x/dx = Ln(y<sub>+</sub>)/Ln(1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>) = Ln(y<sub>-</sub>)/Ln(1 + dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>)<br />
<br />
Il en découle d'abord la relation symétrique suivante :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4a) Ln(y<sub>+</sub>)Ln(1 - dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>) = Ln(y<sub>-</sub>)Ln(1 - dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>)</span><br />
<br />
puis,<br />
<br />
k(x,dx)x = Ln(y<sub>+</sub>)dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>Ln(1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>) = -Ln(y<sub>-</sub>)dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>Ln(1 + dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>) = Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = -Ln<sub>-</sub>(y<sub>-</sub>,dy<sub>-</sub>)<br />
<br />
Ces expressions définissent les logarithmes en différences finies :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4b) Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = Ln(y<sub>+</sub>)dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>Ln(1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>) = Ln(y<sub>+</sub>)/Ln[(1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>)<sup>y<sub>+</sub>/dy<sub>+</sub></sup>]<br />
(4c) Ln<sub>-</sub>(y<sub>-</sub>,dy<sub>-</sub>) = Ln(y<sub>-</sub>)dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>Ln(1 + dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>) = Ln(y<sub>-</sub>)/Ln[(1 + dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub>)<sup>y<sub>-</sub>/dy<sub>-</sub></sup>]<br />
(4d) Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = -Ln<sub>-</sub>(y<sub>-</sub>,dy<sub>-</sub>)</span><br />
<span style="color:#0000FF">(4e) dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub> = -dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub> </span> <br />
<br />
On retrouve bien Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,0) = Ln(y<sub>+</sub>), puisque Lim<sub>dy+->0</sub> (1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>)<sup>y<sub>+</sub>/dy<sub>+</sub></sup> = e pour tout y<sub>+</sub>. D'après (4e), (dy<sub>+</sub> -> 0) <=> (dy<sub>-</sub> -> 0) pour tout couple (y<sub>+</sub>,y<sub>-</sub>) fini. A l'autre extrémité, Lim<sub>dy+->oo</sub> (1 + dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub>)<sup>y<sub>+</sub>/dy<sub>+</sub></sup> = 1 pour tout y<sub>+</sub> => Ln(y,oo) = oo. Toujours d'après (4e), (dy<sub>+</sub> -> oo) <=> (dy<sub>-</sub> -> oo) pour tout couple (y<sub>+</sub>,y<sub>-</sub>) fini <em>non nul</em>.<br />
<br />
En utilisant la périodicité de k(x,dx),<br />
<br />
d[k(x,dx)x] = k(x,dx)dx = dLn<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = -dLn<sub>-</sub>(y<sub>-</sub>,dy<sub>-</sub>) = dy<sub>+</sub>/y<sub>+</sub> = -dy<sub>-</sub>/y<sub>-</sub><br />
<br />
montre (un peu contre toute attente...) que LES fonctions logarithme continuent de vérifier l'équation :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4f) dLn<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)/dy<sub>+</sub> = 1/y<sub>+</sub> , dLn<sub>-</sub>(y<sub>-</sub>,dy<sub>-</sub>)/dy<sub>-</sub> = 1/y<sub>-</sub></span> <br />
<br />
<span style="color:#800080">Attention, cependant, à utiliser des variables <u>sans unité</u>.</span><br />
<br />
En calculant les dérivées successives de Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) entre y<sub>+</sub> - dy<sub>+</sub> et y<sub>+</sub>, il est facile d'établir :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4g) Ln<sub>+</sub><sup>(n+1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = (1/y<sub>+</sub>)<sup>(n)</sup> = (-1)<sup>n</sup>/(n + 1)P[M<sub>n+1</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]</span> <br />
<br />
De l'identité y<sub>+</sub>Ln<sub>+</sub><sup>(1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) - 1 = 0 et de [y<sub>+</sub>Ln(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]<sup>(1)</sup> = (y<sub>+</sub> + dy<sub>+</sub>)Ln<sub>+</sub><sup>(1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) + Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>), on tire la primitive de log<sub>+</sub> :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4h) Ln<sub>+</sub><sup>(-1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = (y<sub>+</sub> - dy<sub>+</sub>)Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) + y<sub>+</sub> + f<sub>1</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)</span><br />
<br />
Par une nouvelle récurrence facile, on obtient :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4i) Ln<sub>+</sub><sup>(-n)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>) = P[Ln<sub>+</sub><sup>(-n)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)] + S<sub>p=1</sub><sup>n</sup> f<sub>p</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)P[M<sub>n-p</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]<br />
(4j) P[Ln<sub>+</sub><sup>(-n)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)] = [P<sub>p=1</sub><sup>n</sup> (y<sub>+</sub> - pdy<sub>+</sub>)]Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)/(n + 1) + P[M<sub>n</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]<br />
= n!P[M<sub>n+1</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]Ln<sub>+</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)/(n + 1)y<sub>+</sub> + P[M<sub>n</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)]</span><br />
<br />
les f<sub>p</sub> étant de nouveau tous de période dy<sub>+</sub>. D'après (4g),<br />
<br />
Ln<sub>+</sub><sup>(n+1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)P[M<sub>n+1</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)] = (-1)<sup>n</sup>/(n + 1)<br />
<br />
Ce résultat est indépendant de y comme de dy. Après sommation :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">(4k) S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> Ln<sub>+</sub><sup>(n+1)</sup>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)P[M<sub>n+1</sub>(y<sub>+</sub>,dy<sub>+</sub>)] = S<sub>n=0</sub><sup>+oo</sup> (-1)<sup>n</sup>/(n + 1) = Ln(2)</span><br />
<br />
Cette identité remarquable prouve malheureusement à elle seule que les théorèmes fondamentaux du calcul différentiel (Fermat, Rolle, Lagrange, Taylor et Cauchy) <em>n'ont plus cours</em>, essentiellement parce que les dérivées y sont calculées par la méthode de Leibnitz.B 184 : SUR LES ACCROISSEMENTS FINISB 183 : DYNAMIQUE DANS LES ESPACES DE SPIN
http://doclabidouille.blogs.fr/page_3.html#a637644
Nous avons désormais tous les outils en main pour décrire la dynamique des corps comme des champs dans tous les espaces de spin. Nous noterons <strong>x</strong> un vecteur position dans <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>, x son "hypothénuse" et x<sup>i</sup> = x<sup>A(1)...A(2s+1)</sup> ses composantes, l'indice i allant de 1 à D(s).<br />
<br />
Le mouvement du cdg d'un corps dans <strong>R</strong><sup>D(s)</sup> est une application vectorielle :<br />
<br />
(1) <strong>x</strong> : <strong>R</strong> -> <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>, x -> <strong>x</strong>(x).<br />
<br />
Sa vitesse de déplacement est :<br />
<br />
(2) <strong>v</strong>(x) = cd<strong>x</strong>(x)/dx<br />
<br />
et son accélération,<br />
<br />
(3) <strong>a</strong>(x) = cd<strong>v</strong>(x)/dx = c²d²<strong>x</strong>(x)/dx²<br />
<br />
<span style="color:#800080"><em>Selon ce que l'on choisira pour "hypothénuse", la dynamique apparaîtra différente</em></span>.<br />
<br />
Si l'on prend :<br />
<br />
(4) x² = <strong>x.x</strong> <br />
<br />
la dynamique se fera dans des référentiels euclidiens. Si, au contraire, on opte pour :<br />
<br />
(5) x² = <strong>x.x</strong><sup>t</sup> <br />
<br />
la dynamique restera euclidienne dans le référentiel (x<sup>i</sup>), mais <em>apparaîtra</em> pseudo-euclidienne de signature [p(s),q(s)] dans le référentiel (x'<sup>i</sup>) obtenu après alignement des axes de la forme quadratique x² avec ceux des coordonnées.<br />
<br />
<span style="color:#800080">Ce n'est qu'une <u>apparence</u>. <u>On n'a pas changé de cadre</u>. On est toujours dans un <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>, on n'est pas passé dans un <strong>R</strong><sup>p(s),q(s)</sup>. Le cône qui <em>semble</em> se former dans le référentiel (x'<sup>i</sup>) disparait complètement dans le référentiel (x<sup>i</sup>). Il n'a donc aucun contenu physique, ce n'est qu'une structure inertielle.</span><br />
<br />
Ceci ne remet pas en cause la finitude de c, ni même l'invariance du x², qui reste le même dans les deux référentiels. C'est uniquement le fait que nous avons défini, en B179, une opération de transposition pour les <u>vecteurs</u>, qui n'existait auparavant que pour les matrices ou tenseurs n x n, avec n >= 2, que nous avons pu regrouper les deux possibilités (4) et (5) ci-dessus dans <u>le même espace euclidien</u> <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>. Et cette transposition des vecteurs nous a été imposée par la physique elle-même. Cette opération mathématique <em>manquait</em>. Nous l'avons simplement rajoutée pour nous conformer aux observations. Mais il s'avère qu'elle a une portée bien plus vaste que la physique, car elle dit en fait que :<br />
<br />
<span style="color:#FF0000">En géométrie réelle, <u>il n'y a pas d'espaces pseudo-euclidiens</u>. Il n'y a que des espaces euclidiens qui, selon le choix de "l'hypothénuse", peuvent, soit rester euclidiens si son carré est <em>irréductible</em> [c'est le cas de (4)], soit prendre <em>l'apparence</em> d'espaces pseudo-euclidiens si son carré est <em>réductible</em> [c'est le cas de (5)], une fois les axes de la métrique alignés avec ceux des coordonnées, i.e. après <em>réduction</em> de la seconde forme quadratique de l'espace.</span><br />
<br />
Ce sont les termes bilinéaires qui décident. Ils sont absents de (4), mais présents dans (5) en quantité q(s) [puisque la réduction fait apparaître q(s) signes "-"]. On ne peut pas appeler ça un théorème, sinon "d'inexistence".<br />
<br />
Si vous choisissez (4), la dynamique est définie partout où la trajectoire <strong>x</strong>(x) ne diverge pas. Si vous choisissez (5), vous allez rencontrer une "contrainte" dans le référentiel (x'<sup>i</sup>) qui va limiter votre domaine physique, puisque dx² = <strong>dx.dx</strong><sup>t</sup> ne sera plus de signe défini. Si vous le décomposez en :<br />
<br />
(6) dx² = S<sub>i=1</sub><sup>p(s)</sup> (dx'<sup>i</sup>)² - S<sub>i=p(s)+1</sub><sup>D(s)</sup> (dx'<sup>i</sup>)² = S<sub>i=1</sub><sup>p(s)</sup> (dx'<sup>i</sup>)² - c²S<sub>i=1</sub><sup>q(s)</sup> (dt'<sup>i</sup>)² = dr'² - c²dt'²<br />
<br />
votre domaine physique se retreindra à dx² >= 0 <em>dans le référentiel</em> (x'<sup>i</sup>). Vous aurez alors du mal à comprendre pourquoi une telle limitation, alors qu'il n'y en a manifestement pas dans le référentiel (x<sup>i</sup>).<br />
<br />
Localement sur la trajectoire, si l'on prend :<br />
<br />
(7a) dx² = <strong>dx</strong>(x)<strong>.dx</strong>(x),<br />
<br />
alors,<br />
<br />
(7b) v²(x) = <strong>v</strong>(x)<strong>.v</strong>(x) = S<sub>i=1</sub><sup>p(s)</sup> [v<sup>i</sup>(x)]² = c²<br />
<br />
Si l'on prend :<br />
<br />
(8a) dx² = <strong>dx</strong>(x)<strong>.dx</strong><sup>t</sup>(x),<br />
<br />
on aura,<br />
<br />
(8b) v²(x) = <strong>v</strong>(x)<strong>.v</strong><sup>t</sup>(x) = c²<br />
<br />
et on verra apparaitre un "cône de lumière" dans le référentiel <em>tangent</em> [v'<sup>i</sup>(x)] = [dx'<sup>i</sup>(x)/dx].<br />
<br />
Le reste est plus que connu. Si m désigne la masse du corps et que l'on part du principe qu'elle n'a pas à dépendre explicitement de x, la fonction de Lagrange est :<br />
<br />
(9a) L[<strong>x</strong>(x),<strong>v</strong>(x)] = ½ mv²(x) + m<strong>G</strong>[<strong>x</strong>(x)]<strong>.v</strong>(x) = ½ mv<sub>i</sub>(x)v<sup>i</sup>(x) + mG<sub>i</sub>[<strong>x</strong>(x)]v<sup>i</sup>(x)<br />
<br />
Elle s'exprime en Joules dans tous les <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>. Tout dépend ensuite de la manière dont on décide de définir le dual v<sub>i</sub>(x) de v<sup>i</sup>(x) : soit comme Id<sub>ij</sub>v<sup>j</sup>(x), auquel cas il aura les mêmes composantes, soit comme g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>v<sup>j</sup>(x) de telle manière que, dans le référentiel primé, v'<sub>i</sub>(x) = g'<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>v'<sup>j</sup>(x), avec g'<sup>(0)</sup><sub>ii</sub> = +1 pour i = 1 à p(s), g'<sup>(0)</sup><sub>ii</sub> = -1 pour i = p(s)+1 à D(s) et g'<sup>(0)</sup><sub>ij</sub> = 0 pour i différent de j. Dans les deux cas, on aura v<sub>i</sub>(x)v<sup>i</sup>(x) = c², de sorte que l'énergie cinétique sera constante :<br />
<br />
(9b) L[<strong>x</strong>(x),<strong>v</strong>(x)] = ½ mc² + mG<sub>i</sub>[<strong>x</strong>(x)]v<sup>i</sup>(x)<br />
<br />
L'impulsion généralisée du corps est :<br />
<br />
(10) P<sub>i</sub>[<strong>x</strong>(x)] = [d/dv<sup>i</sup>(x)]L[<strong>x</strong>(x),<strong>v</strong>(x)] = p<sub>i</sub>(x) + mG<sub>i</sub>[<strong>x</strong>(x)]<br />
<br />
avec p<sub>i</sub>(x) = mv<sub>i</sub>(x), son impulsion libre. On a :<br />
<br />
(11) dv<sub>i</sub>(x)/dx = W<sub>ij</sub>[<strong>x</strong>(x)]v<sup>j</sup>(x)<br />
<br />
avec<br />
<br />
(12) W<sub>ij</sub>[<strong>x</strong>(x)] = d<sub>i</sub>(x)G<sub>j</sub>[<strong>x</strong>(x)] - d<sub>j</sub>(x)G<sub>i</sub>[<strong>x</strong>(x)]<br />
<br />
et d<sub>i</sub>(x) = d/dx<sup>i</sup>(x), la dérivée directionnelle. La fonction d'Hamilton, elle, est partout constante :<br />
<br />
(13) H[<strong>p</strong>(x),<strong>x</strong>(x)] = v<sup>i</sup>(x)dL/dv<sup>i</sup>(x) - L = ½ mc² = p²(x)/2m<br />
<br />
On retrouve l'identité de la RR, p²(x) = m²c². Le mouvement est conservatif. Et, puisque nous en sommes arrivés aux champs, vous remarquerez que, dans le référentiel (x<sup>i</sup>), <em>toutes les composantes de </em>G<sub>i</sub> <em>sont de type "potentiels vecteur" et toutes celles de </em>W<sub>ij</sub>,<em> de type "magnétique</em>". L'invariance des formes différentielles fait immédiatement apparaître le typage :<br />
<br />
(14) G = G<sub>i</sub>(x)dx<sup>i</sup> = g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>G<sup>i</sup>(x)dx<sup>j</sup> = G'<sub>i</sub>(x')dx'<sup>i</sup> = g'<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>G'<sup>i</sup>(x')dx'<sup>j</sup> <br />
= S<sub>i=1</sub><sup>p(s)</sup> G'<sup>i</sup>(x')dx'<sup>i</sup> - cS<sub>i=1</sub><sup>q(s)</sup> G'<sup>i+p(s)</sup>(x')dt'<sup>i</sup> <br />
<br />
Les G'<sup>i</sup>(x') sont de type "potentiels vecteur" et les G'<sup>i+p(s)</sup>(x'), de type "potentiels scalaires".<br />
<br />
(15) W = ½ W<sub>ij</sub>(x)dx<sup>i</sup> × dx<sup>j</sup> = ½ W'<sub>ij</sub>(x')dx'<sup>i</sup> × dx'<sup>j</sup> <br />
= ½ S<sub>i=1</sub><sup>p(s)-1</sup>S<sub>j=i+1</sub><sup>p(s)</sup> W'<sub>ij</sub>(x')dx'<sup>i</sup> × dx'<sup>j</sup> +<br />
+ cS<sub>i=1</sub><sup>q(s)</sup>S<sub>j=1</sub><sup>p(s)</sup> W'<sub>i+p(s),j</sub>(x')dt'<sup>i</sup> × dx'<sup>j</sup> +<br />
+ ½ c²S<sub>i=1</sub><sup>q(s)-1</sup>S<sub>j=i+1</sub><sup>q(s)</sup> W'<sub>i+p(s),j+p(s)</sub>(x')dt'<sup>i</sup> × dt'<sup>j</sup> <br />
<br />
Selon la terminologie en usage, les W'<sub>ij</sub>(x') sont de type "magnétique" et les W'<sub>i+p(s),j</sub>(x'), de type "électrique". Les W'<sub>i+p(s),j+p(s)</sub>(x') n'apparaissent qu'à partir de q(s) = 2, soit s = 1. Ils n'ont pas de type maxwellien défini. Si l'on adaptait la terminologie, on dirait que les W'<sub>i+p(s),j</sub>(x') sont de type "magnéto-électrique", parce qu'ils mixent les deux types à la fois et les W'<sub>i+p(s),j+p(s)</sub>(x') prendraient alors le type "électrique".<br />
<br />
<em>Que de complications inutiles... qui font passer à côté de plein de choses...</em><br />
<br />
On croit que l'on a progressé, alors qu'en fait, on s'est confiné...<br />
<br />
Si vous prenez dx² = <strong>dx.dx</strong> pour hypothénuse locale, il n'y a pas de problème, tout y est "magnétique". Si vous prenez dx² = <strong>dx.dx</strong><sup>t</sup>, tout reste "magnétique" dans le référentiel (x<sup>i</sup>) et les types "exotiques" n'apparaissent que dans le référentiel (x'<sup>i</sup>). Avec la conséquence assez amusante suivante. Au lieu de considérer les potentiels de champs (14), regardons ses <em>sources</em> :<br />
<br />
(16) j = j<sub>i</sub>(x)dx<sup>i</sup> = g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>j<sup>i</sup>(x)dx<sup>j</sup> = j'<sub>i</sub>(x')dx'<sup>i</sup> = g'<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>j'<sup>i</sup>(x')dx'<sup>j</sup> <br />
= S<sub>i=1</sub><sup>p(s)</sup> j'<sup>i</sup>(x')dx'<sup>i</sup> - cS<sub>i=1</sub><sup>q(s)</sup> j'<sup>i+p(s)</sup>(x')dt'<sup>i</sup> <br />
<br />
Dans le référentiel (x<sup>i</sup>), vous ne trouvez que D(s) densités de <em>courant</em> j<sub>i</sub>(x) = q(x)v<sub>i</sub>. <em>Que dans le référentiel </em>(x'<sup>i</sup>), <em>vous trouvez</em> p(s) <em>densités de courants et </em>q(s) <em>densités de <u>charge</u></em>, j'<sup>i+p(s)</sup>(x') = q<sup>i</sup>(x)c. Ces dernières <em>disparaissent du paysage</em> dans le référentiel (x<sup>i</sup>)... Vous en déduisez ?...<br />
<br />
<span style="color:#FF0000">Que la notion de charge (masse incluse) est totalement <u>inertielle</u>.</span><br />
<br />
Et là, vous commencez à vous dire que c'est peut-être la raison pour laquelle vous cherchez toujours, en 2023, <em>l'origine</em> de toutes ces charges... Alors qu'il suffit de partir de densités de courant (ou d'impulsion pour la masse) et de diviser par c, une superbe constante universelle, pour obtenir des <em>équivalents charge</em>...<br />
<br />
ÇA PAS RIRE JAUNE ?... TOI PAS RIGOLER ?... <sub><img alt="smiley" src="https://www.blogs.fr/ckeditor_test/plugins/smiley/images/regular_smile.gif" style="height:20px; width:20px" title="smiley" /></sub> Toi, prendre tête pour pas-grand-chose...<br />
<br />
Vous remercierez Higgs, qui complète le tableau des particules "exotiques", mais j'avais raison : masse et autres charges ne sont que des <u>apparences</u>. La brisure spontanée de symétrie n'explique absolument rien là-dessus (sinon, le modèle aurait prédit la masse du boson...).<br />
<br />
Pour la RG, c'est pareil, inutile de réécrire les équations. L'unique limitation du domaine physique dans les espaces réels ') "classiques"), c'est ds² >= 0. Ça veut dire (et toi, <em>encore</em> rigoler !) que, partant d'un <strong>R</strong><sup>D(s)</sup>, on n'aboutit qu'à des régions <em>super</em>-luminiques (v² >= c²) et que les régions sub-luminiques ("causales") ne sont accessibles qu'à partir d'un <strong>C</strong><sup>D(s)</sup>, un espace euclidien complexe, c'est-à-dire, quantique... Autrement dit :<br />
<br />
<span style="color:#0000FF">Si nous évoluons dans une région causale de l'univers 4D, c'est que cet univers est <em>quantique</em> et non classique. C'est un <strong>C</strong><sup>4</sup>, ainsi que l'avais prédit Dirac.</span><br />
<br />
Dans un <strong>C</strong><sup>D(s)</sup>, en effet, opère la magie de l'unité complexe i... qui change les signes... Vous y avez des coordonnées z<sup>i</sup> = x<sup>i</sup> + iy<sup>i </sup>dont le carré euclidien vaut :<br />
<br />
(17a) z² = x² - y² + 2i<strong>x.y</strong> = x² - y² + ½ i[(<strong>x</strong> + <strong>y</strong>)² - (<strong>x</strong> - <strong>y</strong>)²]<br />
<br />
-y² vous donne les régions causales. Quant au produit <strong>z.z</strong><sup>t</sup>, il vaut :<br />
<br />
(17b) <strong>z.z</strong><sup>t</sup> = (<strong>x</strong> + i<strong>y</strong>)<strong>.</strong>(<strong>x</strong><sup>t</sup> + i<strong>y</strong><sup>t</sup>) = <strong>x.x</strong><sup>t</sup> - <strong>y.y</strong><sup>t</sup> + i(<strong>x.y</strong><sup>t</sup> + <strong>x</strong><sup>t</sup><strong>.y</strong>)<br />
= <strong>x.x</strong><sup>t</sup> - <strong>y.y</strong><sup>t</sup> + ½ i[(<strong>x</strong> + <strong>y</strong>).(<strong>x</strong><sup>t</sup> + <strong>y</strong><sup>t</sup>) - (<strong>x</strong> - <strong>y</strong>).(<strong>x</strong><sup>t</sup> - <strong>y</strong><sup>t</sup>)]<br />
<br />
Dans les deux cas, vous tombez en signature [D(s),D(s)]. Mais dans le second, vous aurez un cône <em>inférieur</em> <strong>x</strong>'<strong>.x</strong>'<sup>t</sup>, qui délimitera le domaine tachyonique "par en-dessous" et un cône <em>supérieur</em> <strong>y</strong>'<strong>.y</strong>'<sup>t</sup>, qui délimitera le domaine causal "par au-dessus".B 183 : DYNAMIQUE DANS LES ESPACES DE SPINB 182 : Où l'on répare C...
http://doclabidouille.blogs.fr/page_3.html#a637136
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Après examen approfondi de la question, il s’avère que deux corrections doivent être apportées, cette fois, aux modèles <em>mathématiques</em> eux-mêmes. La première concerne le calcul des “nombres complexes” ; la seconde, le “calcul des infinitésimaux”. </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Les références sur les travaux antérieurs relatifs aux nombres complexes se trouvent sur <a class="Hyperlink SCXW85958360 BCX2" href="https://doclabidouille.blogs.fr/" rel="noreferrer noopener" style="text-decoration: none; color: inherit;" target="_blank"><u>https://doclabidouille.blogs.fr/</u></a>, aux bidouilles B32, B134 et B178. Il se confirme de plus en plus qu’il faut reprendre la construction à partir de la notion de “nombre à 2 états”, soit dans le plan réel <strong>R</strong>². </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le point de désaccord s’avère plus subtil qu’il n’en a l’air. Aussi, pour ne pas donner l’impression de dire n’importe quoi, j’ai recompulsé mes références en algèbre. Je vais citer le cours de maths sup/ maths spé en 4 tomes de Lelong-Ferrand et Arnaudiès. Dans le tome I consacré à l’algèbre, il est écrit, au §III.7 “calcul dans le corps des nombres complexes”, p. 104 et 105 : </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“On obtient sur l’ensemble <strong>R</strong> x <strong>R</strong> une structure de <em>corps commutatif</em> en définissant l’addition par la formule (x,y) + (x’,y’) = (x + x’ , y + y’) et la multiplication, par la formule (x.y).(x’,y’) = (xx’ – yy’ , xy’ + x’y). Le corps ainsi obtenu se note <strong>C</strong> et s’appelle corps des nombres complexes. L’élément nul de <strong>C</strong> est (0,0), l’élément unité est (1,0) ; l’inverse de l’élément non nul (x,y) est [x/(x² + y²) , -y/(x² + y²)]. L’application j : <strong>R</strong> -> <strong>C</strong> telle que j(x) = (x,0) pour tout x de <strong>R</strong> est un isomorphisme du corps <strong>R</strong> sur un sous-corps de <strong>C</strong>. Habituellement, on identifie <strong>R</strong> au sous-corps j(<strong>R</strong>) de <strong>C</strong> à l’aide de j, de sorte que le nombre complexe (x,0) est simplement noté x. L’élément (0,1) de <strong>C</strong> est noté i ; on a i² = -1.” </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Revenons à la définition d’un corps algébrique, def. III.6.1, p. 99 : </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“Un <strong>corps</strong> est un anneau unifère dans lequel tout élément non nul est inversible (…).” </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Et à celle d’anneau unifère, déf. III.2.2, p. 79 : </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“Un anneau sera dit unifère s’il admet un élément neutre pour le produit, distinct de 0.” </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Et de préciser juste en-dessous : </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“Si un tel élément neutre existe, il est unique”. </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Voici comment est obtenu le corps des nombres complexes en théorie des ensembles : en <u>choisissant</u> (1,0) comme élément neutre. Or, <strong>R</strong> x <strong>R</strong> = <strong>R</strong>² ne possède pas qu’une seule unité, mais deux, puisqu’en raison de sa dimension, il a deux axes perpendiculaires l’un à l’autre et <em>indépendants</em>, de sorte que l’on peut définir sur chacun une longueur unité. C’est bien ce qui est dit ci-dessus : on a <u>deux</u> éléments (1,0) et (0,1) mais, pour pouvoir obtenir une structure de corps, on ne peut en retenir qu’un seul, en raison de son unicité. La propriété (0,1).(0,1) = -(1,0) ne fait pas de (0,1) une unité dépendante de (1,0) : la relation n’est pas linéaire, mais quadratique et, surtout, elle n’est <u>pas</u> définie dans <strong>R</strong>... Par contre, elle peut l’être dans <strong>R</strong>², si on le munit de la loi de multiplication ci-dessus. Or, algébriquement parlant, <strong>R</strong>² <u>n’est pas</u> un corps, mais un espace vectoriel (de dimension 2) sur <strong>R</strong>, c’est-à-dire, un <em>module</em> sur l’anneau unifère (ce qui est bien le cas de <strong>R</strong>, qui ne possède que 1 comme unité) intègre qu’est <strong>R</strong>. </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Donc, on a <u>clairement</u> un problème de construction... fortement aggravé par les résultats suivants. </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le théorème III.7.5, p.106-107 stipule que : </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“a) il existe un homomorphisme continu <strong>surjectif</strong> f du groupe additif <strong>R</strong> sur le groupe multiplicatif U (des nombres complexes de module 1), défini par f(t) = S<sub>n>=0</sub> (it)<sup>n</sup>/n! et un nombre pi > 0 tel que le noyau de f [l’ensemble des t tels que f(t) = 0] soit le sous-groupe 2pi<strong>Z</strong> de <strong>R</strong> ; </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">b) tout homomorphisme continu h du groupe additif <strong>R</strong> dans le groupe multiplicatif U est de la forme x -> f(ax), où a est un nombre réel dépendant de h.” </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Ce résultat est démontré dans le tome II, dédié à l’analyse, p.333 : </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">“La règle de d’Alembert montre immédiatement que la série S<sub>n=0</sub><sup>∞</sup> z<sup>n</sup>/n! est absolument convergente pour tout z dans <strong>C</strong>.” </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le problème, c’est que l’on pose ensuite pas mal de <em>définitions</em>, à commencer par : </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">e<sup>ix</sup> = S<sub>n=0</sub><sup>∞</sup> i<sup>n</sup>x<sup>n</sup>/n! </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">p.336, qui montre bien qu’on part du nombre irrationnel <u>réel</u> e et qu’on l’élève à la puissance i. Les définitions suivantes concernent les fonctions circulaires cos(.) et sin(.). </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">A partir du moment où l’on raisonne de cette manière, l’élévation de i = e<sup>ipi/2</sup> à la puissance i est légitime. Donc, l’absurdité de la conclusion à laquelle on aboutit pose question. La construction du corps <strong>C</strong> est bel et bien <em>bancale</em>... et c’est tout sauf de l’ergotage. </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Qui plus est, on ne peut pas prendre une fonction <em>monotone</em> comme exp(.), qui est <u>bijective</u>, et la transformer “magiquement” en application <u>seulement surjective</u> “grâce à son élévation à une puissance imaginaire” : soit on construit une exponentielle <u>adaptée</u> au nouveau corps, soit on raisonne dans <strong>R</strong>², avec une exponentielle à <u>deux</u> variables. Sinon, on se contredit... </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il y a toutefois un moyen de “réparer” <strong>C</strong>. On part des fonctions de <em>l’hyperbole</em> ch(x) et sh(x), on utilise le produit défini dans <strong>C</strong> pour vérifier qu’on a bien ix = (0,1)(x,0) = (0,x), on remplace, dans la formule <em>hyperbolique</em> de de Moivre, </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<div>
<p style="margin-right: 0px; text-align: justify;"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(1) e<sup>x</sup> = ch(x) + sh(x) </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">le réel x par “l’imaginaire pur” ix, qui s’identifie à (0,x) dans <strong>R</strong>², </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(2) e<sup>ix</sup> = ch(ix) + sh(ix) </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et, en recourant aux définitions de ch(.) et de sh(.), </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(3) ch(x) = ½ (e<sup>x</sup> + e<sup>-x</sup>) , sh(x) = ½ (e<sup>x</sup> – e<sup>-x</sup>) </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">on retombe bien sur la formule <em>elliptique</em> de de Moivre : </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(4) e<sup>ix</sup> = ch(ix) + sh(ix) = cos(x) + isin(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">avec les fonctions du cercle, </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(5) cos(x) = ½ (e<sup>ix</sup> + e<sup>-ix</sup>) , sin(x) = -½ i(e<sup>ix</sup> – e<sup>-ix</sup>) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Vous allez me dire : “c’est la procédure habituelle”. Oui. MAIS... nulle part, on ne précise <u>l’action</u> de l’unité i. On se contente de prendre l’irrationnel réel e et de l’élever à la puissance imaginaire ix. Il y a une <u>action</u> des unités sur les variables comme sur les fonctions. Pour 1, elle est complètement masquée : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(6) e<sup>1.x</sup> = ch(1.x) + sh(1.x) , (e<sup>1.x</sup>)<sup>1</sup> = e<sup>1.x</sup> … </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On ne <em>précise</em> pas la présence de 1 dans les produits, parce que 1.x = x pour tout réel x. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Ce n’est plus le cas de i, qui est une unité <u>cyclique</u> : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7a) i<sup>0</sup> = 1 (convention) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7b) i<sup>1</sup> = i (idempotence due à l’action multiplicative neutre de l’unité 1) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7c) i<sup>2</sup> = -1 (définition de l’unité imaginaire) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7d) i<sup>3</sup> = -i [confirmée par le produit (-1,0).(0,1) = (0,-1) dans <strong>R</strong>² comme dans <strong>C</strong>] </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7e) i<sup>4</sup> = i<sup>0</sup> = 1 (idem) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et le cycle recommence. De ce fait, (4) n’est que le pendant de (6) lorsqu’on remplace 1 par i. L’argument x = 1.x est remplacé par l’argument <u>cyclique</u> i.x, dont les puissances sont (ix)<sup>0</sup> = 1, (ix)<sup>1</sup> = ix, (ix)<sup>2</sup> = -x² (réel négatif), (ix)<sup>3</sup> = -ix<sup>3</sup> et (ix)<sup>4</sup> = x<sup>4</sup>. Conséquence : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(8a) (e<sup>ix</sup>)<sup>i</sup> = [ch(ix) + sh(ix)]<sup>i</sup> [1ère égalité (4)] </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:47px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = cos(ix) + isin(ix) [2ème égalité (4)] </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:47px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ch(x) – sh(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:47px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ch(-x) + sh(-x) [symétrie de ch(.), antisymétrie de sh(.)] </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:47px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = e<sup>i²x</sup> = e<sup>-x</sup> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(8b) [(e<sup>ix</sup>)<sup>i</sup>]<sup>i</sup> = (e<sup>ix</sup>)<sup>-1</sup> = e<sup>-ix</sup> = [ch(x) – sh(x)]<sup>i</sup> = [ch(-x) + sh(-x)]<sup>i</sup> = cos(x) – isin(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(8c) (e<sup>-ix</sup>)<sup>i</sup> = [cos(x) – isin(x)]<sup>i</sup> = [ch(x) – sh(x)]<sup>-1</sup> = e<sup>x</sup> = ch(x) + sh(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et le cycle recommence. Seulement, cela veut dire que les puissances de i sont reportées dans les arguments des fonctions, comme ceci : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(8d)</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i^n</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = (e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i^n</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = ch(i</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">n</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x) + sh(i</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">n</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x) = [ch(x) + sh(x)]</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i^n</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> , n dans </span><span style="color:#0000FF"><strong>Z</strong>.</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-right: 0px; text-align: justify;"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span><br />
<span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Voilà ce qui aurait dû constituer la formule <u>complète</u> de de Moivre et qui aurait évité des ambiguïtés, dont la principale :</span></span></p>
<p style="margin-right: 0px; text-align: justify;"><br />
<span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(9) x = pi/2 => e<sup>ipi/2</sup> = i , e<sup>-pi/2</sup> = i<sup>i</sup> = ch(pi/2) – sh(pi/2)<br />
</span></span><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">e<sup>-ipi/2</sup> = i<sup>i²</sup> = i<sup>-1</sup> = -i , e<sup>pi/2</sup> = ch(pi/2) + sh(pi/2)</span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Si j’élève maintenant e<sup>-pi/2</sup> à des puissances entières, j’obtiens successivement : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(10) e<sup>-pi</sup> = (-1)<sup>i</sup> = ch(pi) – sh(pi) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> e<sup>-3pi/2</sup> = (-i)<sup>i</sup> = (-1)<sup>i</sup>i<sup>i</sup> = ch(3pi/2) – sh(3pi/2) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> e<sup>-2pi</sup> = 1<sup>i </sup>= ch(2pi) – sh(2pi) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> e<sup>-5pi/2</sup> = i<sup>5i</sup> = 1<sup>i</sup>i<sup>i</sup> = ch(5pi/2) – sh(5pi/2) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">… </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:#800080">Cette fois, <u>il n’y a plus</u> de redémarrage du cycle de 4 : e<sup>-5pi/2</sup> n’est plus égale à e<sup>-pi/2</sup>, parce que 1<sup>i</sup> n’est pas égal à 1. L’exponentiation hyperbolique est bien <em>monotone, bijective</em>.</span><span style="color:rgb(112, 48, 160)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">En fin de compte, il n’y avait rien de bien grave, juste une avarie à colmater. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il fallait aussi expliquer que c’est la présence de l’unité imaginaire cyclique i dans l’argument des fonctions qui faisaient passer <em>alternativement</em> de la géométrie hyperbolique à la géométrie circulaire. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour l’élévation à une puissance, la table de calcul est donc la suivante : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(11)</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = 1 , (-1)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = -1 , i</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = i , 1</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-2pi</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> , (-1)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-3pi/2</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> , i</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-pi/2</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">A partir de là, on peut calculer n’importe quel (x + iy)<sup>x’+iy’</sup> selon la formule : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(12) (x + iy)<sup>x’+iy’</sup> = (re<sup>ia</sup>)<sup>x’+iy’</sup> = [e<sup>Ln(r) + ia</sup>]<sup>x’+iy’</sup> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:94px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = e<sup>x’Ln(r) – y’a + i[y’Ln(r) + x’a]</sup> = e<sup>x’Ln(r) – y’a</sup>e<sup>i[y’Ln(r) + x’a]</sup> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:47px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = r<sup>x’</sup>e<sup>-y’a</sup>{cos[y’Ln(r) + x’a] + isin[y’Ln(r) + x’a]} </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le calcul des infinitésimaux, maintenant. L’hypothèse posée par Leibnitz est bien trop simplificatrice, elle efface beaucoup de données essentielles. Soit dx un étalon de mesure de la variable x. Dès que dx ≠ 0 se pose la question de la mesure (pratique) d’un ensemble. Et on ne parler pas ici de mesure au sens de Lebesgue : la variable x est proportionnelle à son étalon dx, </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(13a) x = E(x) + D(x) = [E(x/dx) + D(x/dx)]dx </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">E(.) désigne comme d’habitude la partie entière. D(.) est la partie décimale de x (en unité dx). C’est une quantité qui, en valeur absolue, est toujours strictement inférieure à 1. Ainsi : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(13b) 0 ≤ |D(x)| < 1 => 0 ≤ |D(x/dx)| < |dx| </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Si l’appareil de mesure est étalonné sur dx, il ne mesurera que les multiples entiers de dx, soit E(x) = E(x/dx)dx. Les valeurs D(x) = D(x/dx)dx ne seront pas détectées. La mesure est <em>tronquée</em>. Dès lors, x représente la valeur <em>théorique</em> de la variable, tandis que E(x) représente sa valeur <em>expérimentale</em>. Et puisque x suit dx en signe, le rapport x/dx est toujours positif, de sorte qu’en signant dx, on peut se limiter aux valeurs positives (ou nulles) de E(x/dx) et de D(x/dx). </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Un dx non nul ne remet pas en cause la continuité de <strong>R</strong> mais a des conséquences considérables sur les solutions des équations aux différences finies : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(14) f(x + dx) = f(x) pour tout x dans <strong>R</strong> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">signifie seulement que f(x) est <em>périodique de période dx</em> et que ce n’est que lorsqu’on fait tendre dx vers zéro (Leibnitz) qu’on obtient une constante. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(112, 48, 160)">En différences finies, les constantes sont remplacées par des signaux périodiques de période l’étalon de mesure de la variable.</span><span style="color:rgb(112, 48, 160)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Regardons sous un œil neuf ce que devient l’exponentielle. Cette fonction obéit à l’équation aux différences finies : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(15a) f<sup>(1)</sup>(x) = [f(x + dx) – f(x)]/dx = f(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">dont la solution est, </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(15b)</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">f(x) = (1 + dx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">L’exponentielle est maintenant de base (1 + dx)<sup>1/dx</sup> . Chez Leibnitz : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(15c) Lim<sub>dx->0</sub> (1 + dx)<sup>1/dx</sup> = e </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Une complication supplémentaire vient se greffer pour dx ≠ 0 qui est que : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(1 + dx)<sup>x/dx</sup> = (1 + dx)<sup>E(x/dx)</sup>(1 + dx)<sup>D(x/dx)</sup> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et que, si (1 + dx)<sup>E(x/dx)</sup> reste réelle même si 1 + dx < 0, il n’en va plus de même pour certaines valeurs de (1 + dx)<sup>D(x/dx)</sup>, qui se retrouvent dans <strong>C</strong>. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">La résolution des équations du second ordre : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(16a) f<sup>(2)</sup>(x) = [f(x + 2dx) – 2f(x + dx) + f(x)]/dx² = f(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(16b) f<sup>(2)</sup>(x) = -f(x) </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">est elle aussi intéressante. La première donne : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(16c)</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">f</span><sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">±</span></sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(x) = ½ [(1 + dx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> ± (1 – dx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">] -> ½ (e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> ± e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-x</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">) pour dx -> 0</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">la seconde, </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(16d) </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">f</span><sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">±</span></sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(x) = ½ [(1 + idx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> ± (1 – idx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">x/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">] -> ½ (e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">ix</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> ± e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-ix</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">) pour dx -> 0</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Ceci montre que : </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
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<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)">(16e)</span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)">Lim</span><sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">dx->0</span></sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> (1 + dx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e , Lim</span><sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">dx->0</span></sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> (1 – dx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-1</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span></span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> Lim<sub>dx->0</sub> (1 + idx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">i</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> , Lim</span><sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)">dx->0</span></sub><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> (1 – idx)</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">1/dx</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> = e</span><sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)">-i</span></sup><span style="color:rgb(0, 112, 192)"> </span> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et explique a posteriori pourquoi c’est encore le réel e qui est utilisé pour construire l’exponentielle complexe. Ceci achève la réparation, on peut réutiliser <strong>C</strong> sans problème. </span></span></p>
</div>
<div>
<p style="margin-left:0px; margin-right:0px; text-align:justify"><span style="font-size:14px"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></span></p>
</div>
</div>B 182 : Où l'on répare C...B 181: NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE
http://doclabidouille.blogs.fr/page_3.html#a622461
<p align="CENTER" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">NOUVELLE VERSION CORRIGEE...</font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Si vous avez rendu une petite visite au blog ces derniers temps, vous aurez pu remarquer un cafouillage au niveau de B 181. Je savais bien que quelque chose « n'allait pas » et m'empêchait de démarrer les applications. Rien de bien grave, il s'agit juste de RELATIVISER le théorème spin – signature. Ce théorème a servi pour décrire la structure spinorielle des cadres. Il était donc normal que nous partions d'un espace euclidien de dimension classique 2. Nous allons maintenant relativiser ce résultat, ce qui aura pour effet de généraliser l'usage de spin – signature à divers cadres DE BASE. Il ne s'agit pas d'établir un nouveau théorème, seulement d'y apporter des COMPLEMENTS.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On commence par une</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="CENTER" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff"><strong>DEFINITION 1</strong></font></span></p>
<p align="CENTER" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff"><strong>MULTIPLICITé QUANTIQUE</strong></font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">Soient U<sub>p(s),q(s)</sub> et U<sub>p(s'),q(s')</sub> deux univers, avec s' >= s. La multiplicité quantique de U<sub>p(s'),q(s')</sub> par rapport à U<sub>p(s),q(s)</sub> est l'entier positif ou nul :</font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol>
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">m = 2(s' – s)</font></span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Si s' = s, les deux univers se confondent et m = 0 signifie que U<sub>p(s),q(s)</sub> est classique par rapport à lui-même. Si s' = s + ½, m = 1 et U<sub>p(s+½),q(s+½)</sub> est « simplement quantique » vis-à-vis de U<sub>p(s),q(s)</sub>, vu qu'il peut être obtenu par réplication de ce dernier. Si s' = s + 1, m = 2 : l'univers U<sub>p(s+1),q(s+1)</sub> est « doublement quantique » par rapport à U<sub>p(s),q(s)</sub> et donc, « simplement quantique » par rapport à U<sub>p(s+½),q(s+½)</sub>. Et ainsi de suite.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="CENTER" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff"><strong>DEFINITION 2</strong></font></span></p>
<p align="CENTER" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff"><strong>NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE</strong></font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">Soient toujours s et s' deux nombres quantiques de spin, avec s' >= s. L'entier :</font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="2">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">N(m) = D(s')/D(s) = 2<sup>m</sup> = dim<sub>q</sub> U<sub>p(s – s'),q(s – s')</sub></font></span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">mesure le nombre de NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE DE L'UNIVERS U<sub>p(s),q(s)</sub>.</font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">D'après ce qui vient d'être dit, on a bien N(0) = 1. N(1) = 2 redonne bien deux niveaux classiques pour U<sub>p(s+½),q(s+½)</sub> vis-à-vis de U<sub>p(s),q(s) </sub>; N(2) = 4, 4 niveaux classiques (ou 2 niveaux quantiques), etc.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Un vecteur de U<sub>p(s),q(s) </sub> a pour composantes W<sup>A(1)...A(2s+1) </sup>; un vecteur de U<sub>p(s'),q(s')</sub> (s' > s), pour composantes W<sup>A(1)...A(2s+1)A(2s+2)...A(2s'+1)</sup>. On sait que la transposition renverse le sens de TOUS les indices binaires. Si l'on cherche à l'appliquer séparément aux DEUX mots binaires [A(1)...A(2s+1)] et [A(2s+2)...A(2s'+1)] pris séparément, on va se compliquer inutilement la vie dès que s > 0. Ce qui importe, c'est la SIGNATURE DES UNIVERS. Celle de U<sub>p(s),q(s) </sub> est [p(s),q(s)] ; celle de U<sub>p(s'),q(s')</sub>, [p(s'),q(s')]. Il est beaucoup plus profitable d'établir un LIEN entre les deux.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">De :</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="3">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">2<sup>2s</sup> = ½ [p(s) + q(s)] , 2<sup>E(s)</sup> = ½ [p(s) – q(s)]</span></p>
</li>
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">E(s + ½) = E(s) si s entier , E(s) + 1 si s demi-tentier</span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">on établit sans difficulté que,</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="5">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">p(s + ½) = ½ [3p(s) + q(s)] si s entier , 2p(s) si s demi-entier</span></p>
</li>
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">q(s + ½) = ½ [p(s) + 3q(s)] si s entier , 2q(s) si s demi-entier</span></p>
</li>
</ol>
<ol start="7">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">p(s + k) = ½ [p(s)p(k) + q(s)q(k)]</span></p>
</li>
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">q(s + k) = ½ [p(s)q(k) + q(s)p(k)]</span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">avec k dans <strong>N</strong>. Ces formules permettent d'établir la signature de U<sub>p(s'),q(s')</sub> PAR RAPPORT à celle de U<sub>p(s),q(s)</sub> et généralisent celles obtenues dans B 181 avec U<sub>2,0</sub> comme base. Elles garantissent que la norme des vecteurs de multiplicité quantique m dans l'univers de base U<sub>p(s),q(s)</sub> respecteront bien la signature de l'univers U<sub>p(s'),q(s')</sub> = U<sub>p(s + ½ m),q(s + ½ m)</sub>, sans plus avoir à faire appel aux transpositions. L'opération <sup>t</sup> n'a, en fait, servie au départ qu'à expliquer l'origine de la signature (3,1) et non (4,0) de l'espace-temps 4D. Nous l'avons étendue à des spins s > ½ mais, à présent que nous avons les signatures des espaces-temps spinoriels, nous n'avons plus besoin de <sup>t</sup>, sinon que par rapport à U<sub>2,0</sub>.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Les tenseurs d'ordre n >= 1 dans un univers U<sub>p(s),q(s)</sub> correspondent à :</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="9">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">s' = ns + ½ (n – 1) , m = (n – 1)(2s + 1) , N = D<sup>n-1</sup>(s)</font></span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">puisqu'ils ont D<sup>n</sup>(s) composantes au total.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">Les VECTEURS (n = 1 => s' = s, m = 0, N = 1) apparaissent toujours CLASSIQUES dans un univers U<sub>p(s),q(s)</sub>.</font></span></p>
<p style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">C'est le cas, notamment, des vecteurs positions x<sup>i</sup>, i = 1,...,D(s) et des changements de représentations ou des déplacements x'<sup>i</sup> = X<sup>i</sup>(x).</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">n = 2 donne s' = 2s + ½, m = 2s + 1 et N = D(s). C'est le cas des « potentiels métriques », des « coefficients métriques », de la courbure de Ricci ou du « tenseur source ». Tous ces 2-tenseurs ont spin DEMI-entier et un nombre de niveaux de réalité égal à la dimension CLASSIQUE de leur univers-support.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">n = 3 donne s' = 3s + 1, m = 2(2s + 1) , N = D²(s). C'est le cas des coefficients de Christoffel. Ces tenseurs obéissent à la même statistique que leur univers-support et ont tous multiplicité quantique paire.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">n = 4 donne s' = 4s + 3/2, m = 3(2s + 1), N = D<sup>3</sup>(s). C'est le cas de la courbure de Riemann ou du tenseur des contraintes. De nouveau, ils ont tous spin demi-entier.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour n = 0, les expressions (5) tombent en défaut. Or, le cas des scalaires a DEJA été considéré, mais pas sous cet angle : dans B 179, nos vecteurs W<sup>A(1)...A(2s+1)</sup> dans un univers U<sub>p(s),q(s)</sub> sont bien des TENSEURS D'ORDRE 2s + 1 DANS UN U<sub>2,0</sub>. En conséquence, si nous posons s = 0 dans (5), nous obtenons, pour commencer :</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="10">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">s = 0 => s' = ½ (n – 1) , m = n – 1 , N = D<sup>n-1</sup>(0) = 2<sup>n-1</sup></span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et, pour finir,</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="11">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">n = 2s + 1 => s' = s , m = 2s , N = 2<sup>2s</sup> = dim<sub>q</sub> U<sub>p(s),q(s)</sub> </font> </span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><font color="#0000ff">Un tenseur d'ordre 2s + 1 dans un U<sub>2,0</sub> est TOUJOURS un VECTEUR CLASSIQUE dans un U<sub>p(s),q(s)</sub>.</font></span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = s' = 0, n = 1 (vecteur W<sup>A</sup> d'un U<sub>2,0</sub>), m = 0 (classique), N = 1 (à un seul niveau de réalité).</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = s' = ½, n = 2 (2-tenseur W<sup>AB</sup> d'un U<sub>2,0</sub>), m = 1 (vecteur simplement quantique du U<sub>2,0</sub>, classique dans un U<sub>3,1</sub>), N = 2 (à deux niveaux de réalité).</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = s' = 1, n = 3 (3-tenseur W<sup>ABC</sup> d'un U<sub>2,0</sub>), m = 2 (vecteur doublement quantique du U<sub>2,0</sub>, simplement quantique dans un U<sub>3,1</sub>, classique dans un U<sub>6,2</sub>), N = 4 (à 4 niveaux de réalité).</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = s' = 3/2, n = 4 (4-tenseur W<sup>ABCD</sup> d'un U<sub>2,0</sub>), m = 3 (vecteur triplement quantique du U<sub>2,0</sub>, doublement quantique d'un U<sub>3,1</sub>, simplement quantique d'un U<sub>6,2</sub>, classique d'un U<sub>10,6</sub>), N = 8 (à 8 niveaux de réalité).</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Et ainsi de suite.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">D'après le corollaire 2 de spin-signature, pour s' = s + ½, le nombre total d'angles de polarisation est de :</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="12">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(s' + 1)(2s' + 1) = (s + 1)(2s + 3) = (s + 1)(2s + 1) + 2(s + 1)</span><span style="font-family:times new roman,times,serif"> <span id="cke_bm_133C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_132C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_131C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_130C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_129C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_128C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_127C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_126C" style="display:none"> </span>= s(2s + 3) + 2(s + 1) + 1</span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il y a 2(s + 1) angles sphériques de plus que pour le spin s. </span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Plus généralement, pour s' = s + k :</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<ol start="13">
<li>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(s + k + 1)(2s + 2k + 1) = (s + 1)(2s + 1) + k(4s + 2k + 3)</span><span style="font-family:times new roman,times,serif"> <span id="cke_bm_141C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_140C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_139C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_138C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_137C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_136C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_135C" style="display:none"> </span><span id="cke_bm_134C" style="display:none"> </span>= s(2s + 3) + k(4s + 2k + 3) + 1</span></p>
</li>
</ol>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il y a k(4s + 2k + 3) angles sphériques de plus.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Quelle que soit la valeur du spin, on ne dénombre qu'un seul angle hyperbolique.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Vous voyez, ce n'était pas bien long, mais suffisant pour bloquer le passage aux applications.</span></p>
<p align="JUSTIFY" style="margin-bottom: 0cm"> </p>
<style type="text/css">P { margin-bottom: 0.21cm }
</style>B 181: NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUEB 180 : REPLICATION DE PAULI-CANTOR
http://doclabidouille.blogs.fr/page_3.html#a620776
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><strong>NOUVELLE VERSION, REVUE ET CORRIGEE</strong></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">L’isomorphisme purement ensembliste spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) ~ <strong>R</strong>² ~ <strong>C</strong> nous apprend surtout qu’en théorie quantique, l’espace réel de départ n’est plus <strong>R</strong>, mais un espace réel de dimension DEUX. C’est une arithmétique où il s’agit de raisonner en puissances de 2, en se fondant sur la propriété remarquable de ce chiffre, le seul à vérifier 2 + 2 = 2 x 2. Je vais exposer ici un mécanisme qui permet d’expliquer le dédoublement des dimensions au sens classique du terme et sa relation avec le nombre quantique de spin. J’ai nommé ce mécanisme la « réplication de Pauli-Cantor », en référence aux travaux de Wolfang Pauli sur le spin des particules et de Cantor sur ces ensembles qu’on appela, bien plus tard, des « fractales lacunaires ». Mais auparavant, définissons la DIMENSION QUANTIQUE de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) comme UNITé DE BASE. Ceci revient à dire qu’elle vaut LA MOITIé de sa dimension classique, qui est 2 :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l3 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(1)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">Dim<sub>q</sub>[spin<strong><sub>R</sub></strong>(0)] = ½ Dim<sub>c</sub>[spin<strong><sub>R</sub></strong>(0)] = 1</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">et permet de se ramener graphiquement à une « droite quantique ».</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le mécanisme est le suivant.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On part de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0), que l’on se représente donc comme une droite quantique de longueur 2r<sub>U</sub> finie. On fixe son origine en r = 0. Des deux côtés de cette origine, vous trouvez donc des « demi-droites » de même longueur r<sub>U</sub>. Tant que la continuité de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) n’est pas remise en cause, vous pouvez y introduire autant de matière hypothétique d’épaisseur nulle que vous voudrez, vous ne changerez pas le spin du cadre, qui restera à zéro.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour passer de s = 0 à s = ½, vous devez ROMPRE la continuité de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0). Pour cela, vous allez introduire une SINGULARITé DE PLANCK en r = 0, de longueur 2r<sub>pl</sub>. Sous la présence de cette « impureté », spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) va se scinder en deux REPLIQUES de lui-même (puisque, partout ailleurs, le continuum n’étant pas violé, le spin reste à s = 0). Chaque réplique sera de longueur r<sub>U</sub> - r<sub>pl</sub>. Si vous les COUPLEZ, vous obtenez spin<strong><sub>R</sub></strong>(1) = (x<sub>c</sub>)<sup>2</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) = (x<sub>t</sub>)<sup>2</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) et vous passez de la signature (2,0) à la signature (3,1).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour passer de s = ½ à s = 1, vous réitérez le procédé dans CHACUNE des deux répliques de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0). Leurs centres respectifs se situent en ½ (r<sub>U</sub> - r<sub>pl</sub>). Vous y introduisez une nouvelle singularité de Planck. ça vous en fait 2 de plus. Vous obtenez 4 répliques de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0), de longueur ½ (r<sub>U</sub> - r<sub>pl</sub>) - r<sub>pl</sub> = ½ (r<sub>U</sub> - 3r<sub>pl</sub>). Leur couplage donne spin<strong><sub>R</sub></strong>(2) = (x<sub>c</sub>)<sup>4</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) = (x<sub>t</sub>)<sup>3</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) et la signature (6,2).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On détaille encore une transition, pour bien asseoir la récurrence.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">s = 1 -> s = 3/2 nécessite l’introduction de 4 nouvelles singularités de Planck, une au centre de chaque réplique. Ces centres se situent en ¼ (r<sub>U</sub> - 3r<sub>pl</sub>). ça vous donne 8 répliques de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0), de longueur ¼ (r<sub>U</sub> - 3r<sub>pl</sub>) - r<sub>pl</sub> = ¼ (r<sub>U</sub> - 7r<sub>pl</sub>) et spin<strong><sub>R</sub></strong>(3) = (x<sub>c</sub>)<sup>8</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) = (x<sub>t</sub>)<sup>4</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) avec la signature (10,6).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">Le passage de la valeur s à la valeur s + ½ s’obtient en introduisant D(s)/2 = 2<sup>2s</sup> singularités de Planck supplémentaires dans spin<strong><sub>R</sub></strong>(0). Ceci vous donne D(s) répliques de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) de longueur :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l2 level1 lfo4;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(1)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">r<sub>U</sub>(s) = 2<sup>-2s</sup>{r<sub>U</sub> - [D(s) - 1]r<sub>pl</sub>}</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">et</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l2 level1 lfo4;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(2)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s + 1) = (x<sub>c</sub>)<sup>D(s)</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) = (x<sub>t</sub>)<sup>2s+2</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) = spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s) x<sub>c</sub> spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s)</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">Le processus se poursuit tant que la longueur des répliques reste strictement supérieure à 2r<sub>pl</sub>, seuil en deçà duquel plus aucune continuité n’est possible. L’égalité :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l2 level1 lfo4;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(3)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">r<sub>U</sub>(s) = 2r<sub>pl</sub> </span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">mène à une LONGUEUR CRITIQUE,</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l2 level1 lfo4;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(4)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">r<sub>U,c</sub>(s) = [D(s + ½) - 1]r<sub>pl</sub> = (2<sup>2s+2</sup> - 1)r<sub>pl</sub> </span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">de sorte que la condition de poursuite du processus est :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l2 level1 lfo4;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(5)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">r<sub>U</sub> > r<sub>U,c</sub>(s)</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">La finitude de la longueur caractéristique de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) qui, par produit cartésien ou tensoriel, implique celle de spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s), est assurée par le résultat général suivant sur les espaces(-temps) PHYSIQUES :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">LEMME DE COMPACITé</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">En reprenant les notations du corollaire 2 de spin - signature (B179), soient V<sub>2</sub> et V<sub>p(s),q(s)</sub> des variétés spinorielles réelles dans spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) et spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s) respectivement, avec 2s dans <strong>N</strong>*. Alors :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:54.0pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-36.0pt;mso-list:l1 level1 lfo3;tab-stops:list 54.0pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">i)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">V<sub>2</sub> est un domaine FERMé 2D de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) ;</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:54.0pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-36.0pt;mso-list:l1 level1 lfo3;tab-stops:list 54.0pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">ii)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">V<sub>p(s),q(s)</sub> est fermé dans les p(s) directions spatiales de spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s), ainsi que dans ses q(s) directions temporelles.</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">La preuve de ce lemme repose sur le caractère euclidien de spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s) dans ses p(s) directions spatiales comme dans ses q(s) directions temporelles, qui implique nécessairement que toute variété spinorielle V<sub>p(s),q(s)</sub> courbe est un domaine spatialement et temporellement FERMé, bien qu’il ne le soit PAS dans les D(s) = 2<sup>2s+1</sup> directions au total, en raison de la signature hyperbolique [p(s),q(s)] de spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s). Pour s = 0, c’est évident, puisque spin<strong><sub>R</sub></strong>(0) est purement spatial.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Un dernier point de détail, purement technique, reste à préciser.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Lorsqu’on travaille à partir de 4-vecteurs, on a l’habitude de représenter la phase d’un mouvement oscillant élémentaire comme k<sub>i</sub>x<sup>i</sup>. Spin - signature apporte une correction à cela. Si vous regardez la formule [B179, (9)], vous vous apercevez que le k<sub>i</sub>x<sup>i</sup> = k<sub>AB</sub>x<sup>AB</sup> est en fait le produit ELLIPTIQUE du covecteur d’onde k<sub>i</sub> avec le vecteur position x<sup>i</sup>. Cette notation vous mène désormais à une signature (4,0). Si vous voulez la signature (3,1), vous devez former le produit HYPERBOLIQUE k<sub>AB</sub>x<sup>BA</sup> = k<sub>i</sub>(x<sup>i</sup>)<sup>t</sup> = (k<sub>i</sub>)<sup>t</sup>x<sup>i</sup>. Après ajustement du système d’axes, vous retrouvez la signature voulue :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(1)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">k<sub>AB</sub>x<sup>BA</sup> = k<sub>00</sub>x<sup>00</sup> + k<sub>01</sub>x<sup>10</sup> + k<sub>10</sub>x<sup>01</sup> + k<sub>11</sub>x<sup>11</sup> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:35.4pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ½ [(k<sub>00</sub> + k<sub>11</sub>)(x<sup>00</sup> + x<sup>11</sup>) + (k<sub>00</sub> - k<sub>11</sub>)(x<sup>00</sup> - x<sup>11</sup>) + </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> + (k<sub>01</sub> + k<sub>10</sub>)(x<sup>01</sup> + x<sup>10</sup>) - (k<sub>01</sub> - k<sub>10</sub>)(x<sup>01</sup> - x<sup>10</sup>)]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = k’<sub>1</sub>x’<sup>1</sup> + k’<sub>2</sub>x’<sup>2</sup> + k’<sub>3</sub>x’<sup>3</sup> - k’<sub>0</sub>x’<sup>0</sup> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">avec,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(2)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">k’<sub>1</sub> = 2<sup>-1/2</sup>(k<sub>00</sub> - k<sub>11</sub>) , k’<sub>2</sub> = 2<sup>-1/2</sup>(k<sub>01</sub> + k<sub>10</sub>) , k’<sub>3</sub> = 2<sup>-1/2</sup>(k<sub>00</sub> + k<sub>11</sub>) , k’<sub>0</sub> = 2<sup>-1/2</sup>(k<sub>01</sub> - k<sub>10</sub>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(3)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">x’<sup>1</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(x<sup>00</sup> - x<sup>11</sup>) , x’<sup>2</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(x<sup>01</sup> + x<sup>10</sup>) , x’<sup>3</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(x<sup>00</sup> + x<sup>11</sup>) , x’<sup>0</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(x<sup>01</sup> - x<sup>10</sup>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">soit,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(4)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">k’<sub>i</sub> = 2<sup>-1/2</sup>s<sub>i</sub><sup>AB</sup>k<sub>AB</sub> , x’<sup>i</sup> = 2<sup>-1/2</sup>s<sup>i</sup><sub>AB</sub>x<sup>AB</sup> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo1;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(5)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>k<sup>j</sup>x<sup>i</sup> = ½ g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>s<sup>j</sup><sub>AB</sub>s<sup>i</sup><sub>CD</sub>k<sup>AB</sup>x<sup>CD</sup> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Remarquez que les produits des matrices s par les matrices k et x sont ELLIPTIQUES.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<style type="text/css">@font-face
{font-family:SimSun;
panose-1:2 1 6 0 3 1 1 1 1 1;
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</style>B 180 : REPLICATION DE PAULI-CANTORB 179 : THEOREME SPIN - SIGNATURE ET COROLLAIRES
http://doclabidouille.blogs.fr/page_3.html#a620387
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">L’objet de ce nouvel article va être de démontrer le résultat général suivant :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">THEOREME « SPIN - SIGNATURE »</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">Soient :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:36.0pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-18.0pt;mso-list:l2 level1 lfo1;tab-stops:list 36.0pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">-<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">s dans ½ <strong>N</strong>, un « NOMBRE QUANTIQUE DE SPIN » (c'est-à-dire, de moment cinétique de spectre DISCRET) ;</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:36.0pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-18.0pt;mso-list:l2 level1 lfo1;tab-stops:list 36.0pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">-<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">D(s) = 2<sup>2s+1</sup>, la dimension de l’algèbre de Clifford réelle spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s) ;</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:36.0pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-18.0pt;mso-list:l2 level1 lfo1;tab-stops:list 36.0pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">-<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">S, l’espace topologique de Stone d’une algèbre de Boole B = {0,1,NON,OU,ET} ;</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">et</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(1)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">W : S<sup>2s+1</sup> -> <strong>R</strong><sup>D(s)</sup> , (A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) -> W(A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) = W<sup>A(1)…A(2s+1)</sup> </span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">une application qui associe au (2s+1)-uplet de variables booléennes (A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) un vecteur à D(s) composantes réelles. Alors :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo3;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">1)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">l’application TRANSPOSEE de l’application W est l’application définie comme,</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(2)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">W<sup>t</sup> : S<sup>2s+1</sup> -> <strong>R</strong><sup>D(s)</sup> , (A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) -> W<sup>t</sup>(A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) = W(A<sub>2s+1</sub>,…,A<sub>1</sub>)</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">et obtenue à partir de W en « lisant les variables à l’envers » ou « dans le miroir » ;</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l0 level1 lfo3;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">2)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">le produit scalaire,</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(3)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">W.W<sup>t</sup> = W<sup>A(1)…A(2s+1)</sup>W<sub>A(2s+1)…A(1)</sub> </span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">est de signature [2<sup>2s</sup> + 2<sup>E(s)</sup> , 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup>], où E(.) désigne la fonction partie entière.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>Preuve :</u></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On commence par dénombrer les composantes du D(s)-vecteur W qui ne sont pas affectées par l’opération de transposition. Il s’agit de toutes celles qui vérifient :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W(A<sub>1</sub>,…,A<sub>2s+1</sub>) = W(A<sub>2s+1</sub>,…,A<sub>1</sub>),</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">soit pour A<sub>2s+1</sub> = A<sub>1</sub>, A<sub>2s</sub> = A<sub>2</sub>,… Si s est demi-entier (« type fermionique » ou « F », en abrégé), s = E(s) + ½ et 2s + 1 = 2[E(s) + 1] est pair. Dans ce cas, on dénombre exactement (par une simple récurrence sur la valeur de s) 2<sup>E(s)+1</sup> composantes invariantes. Si s est l’entier immédiatement inférieur, s = E(s), 2s + 1 = 2E(s) + 1 est impair (« type bosonique » ou « B ») et il existe un élément « central » A<sub>E(s)+1</sub> qui est forcément laissé invariant par <sup>t</sup>. Comme E(.) « écrête » la valeur de s à l’entier immédiatement inférieur, ceci ne change pas le nombre total de composantes invariantes, qui reste à 2<sup>E(s)+1</sup>. Etant donné que W<sup>A(1)…A(2s+1)</sup> possède 2<sup>2s+1</sup> composantes, on dénombre donc 2<sup>2s+1</sup> - 2<sup>E(s)+1</sup> variables qui permutent sous <sup>t</sup>. Aussi, lorsque l’on va former le produit scalaire de W et de son transposé, on va trouver une somme de 2<sup>E(s)+1</sup> carrés euclidiens portant sur les composantes invariantes + une somme de [2<sup>2s+1</sup> - 2<sup>E(s)+1</sup>] produits bilinéaires de composantes qui permutent. Or, tout produit bilinéaire XY se décompose canoniquement en :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">XY = ¼ [(X + Y)² - (X - Y)²]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">alors que toute somme de deux carrés euclidiens,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">X² + Y² = ½ [(X + Y)² + (X - Y)²]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">reste euclidienne. Par conséquent, sur les 2<sup>2s+1</sup> - 2<sup>E(s)+1</sup> produits bilinéaires dénombrés, la moitié, soit 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup>, va entrer dans WW<sup>t</sup> avec un signe (+) et l’autre moitié, avec un signe (-). Le total est de 2<sup>E(s)+1</sup> + 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup> = 2<sup>2s</sup> + 2<sup>E(s)</sup> carrés avec un signe (+) et 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup> carrés avec un signe (-), conduisant à une signature [2<sup>2s</sup> + 2<sup>E(s)</sup> , 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup>], comme énoncé. :)</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">A l’instar de son prédécesseur, le théorème « spin - statistique », qui établissait un lien entre le nombre quantique de spin et le type de statistique quantique, le « théorème spin - signature » permet d’établir le lien entre la structure spinorielle des univers de dimension 2<sup>2s+1</sup> et la signature de leur métrique, qui n’a donc plus rien « d’arbitraire ». Il apporte une réponse directe et même définitive à la question « pourquoi l’espace-temps possède-t-il tant de dimensions ‘du genre espace’ et tant ‘du genre temps’ ? », au moins dans le cas des univers dont la dimension est une puissance entière de 2.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">COROLLAIRE 1</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">TOUS les univers de dimension 2<sup>2s+1</sup> > 2 sont COMPOSITES.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>Preuve :</u> ceci résulte directement de ce que,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(4)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">spin<strong><sub>R</sub></strong>(2s) = (x<sub>t</sub>)<sup>2s+1</sup> spin<strong><sub>R</sub></strong>(0)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">est la (2s+1)-ème puissance tensorielle de spin<strong><sub>R</sub></strong>(0). :)</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>Exemples</u>.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>s = 0</u> : D(0) = 2, W : S -> <strong>R</strong>², (W<sup>A</sup>)<sup>t</sup> = W<sup>A</sup>,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(5)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W.W<sup>t</sup> = (W<sup>0</sup>)² + (W<sup>1</sup>)²</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ½ [(W<sup>0</sup> + W<sup>1</sup>)² + (W<sup>0</sup> - W<sup>1</sup>)²]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = (W’<sup>0</sup>)² + (W’<sup>1</sup>)²</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">la signature est (2,0) et la géométrie, euclidienne. Comme nous allons le voir, mais qui résulte déjà du théorème, c’est LA SEULE géométrie qui reste EUCLIDIENNE, puisque 2<sup>2s</sup> = 2<sup>E(s)</sup> => 2s = E(s) => s = 0, vue la monotonie de l’application puissance et le fait que E(s) renvoie toujours l’entier immédiatement INFERIEUR à s. Le tenseur métrique g<sup>(0)</sup><sub>AB</sub> a pour composantes :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(6)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">g<sup>(0)</sup><sub>00</sub> = g<sup>(0)</sup><sub>11</sub> = 1 , g<sup>(0)</sup><sub>01</sub> = g<sup>(0)</sup><sub>10</sub> = 0</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Dans le référentiel W<sup>A</sup> comme dans le référentiel,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(7)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W’<sup>0</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(W<sup>0</sup> - W<sup>1</sup>) , W’<sup>1</sup> = 2<sup>-1/2</sup>(W<sup>0</sup> + W<sup>1</sup>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">obtenu après rotation des axes, au facteur conforme constant 2<sup>-1/2</sup> près (qu’on ne spécifiera plus par la suite).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>s = ½</u> : D(1) = 4, W : S<sup>2</sup> -> <strong>R</strong><sup>4</sup>,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(8)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W<sup>AB</sup> = (W<sup>00</sup>,W<sup>01</sup>,W<sup>10</sup>,W<sup>11</sup>) = (W<sup>0</sup>,W<sup>1</sup>,W<sup>2</sup>,W<sup>3</sup>) = W<sup>i</sup> (i = 0,1,2,3)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(9)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">(W<sup>AB</sup>)<sup>t</sup> = W<sup>BA</sup> = (W<sup>00</sup>,W<sup>10</sup>,W<sup>01</sup>,W<sup>11</sup>) = (W<sup>0</sup>,W<sup>2</sup>,W<sup>1</sup>,W<sup>3</sup>) = (W<sup>i</sup>)<sup>t</sup> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">La permutation des composantes W<sup>01</sup> et W<sup>10</sup> équivaut à l’échange des axes (1) et (2) de <strong>R</strong><sup>4</sup>.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(10)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W.W<sup>t</sup> = (W<sup>0</sup>)² + (W<sup>3</sup>)² + 2W<sup>1</sup>W<sup>2</sup> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:35.4pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ½ [(W<sup>0</sup> - W<sup>3</sup>)² + (W<sup>0</sup> + W<sup>3</sup>)² + (W<sup>1</sup> + W<sup>2</sup>)² - (W<sup>1</sup> - W<sup>2</sup>)²]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:35.4pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = (W’<sup>1</sup>)² + (W’<sup>2</sup>)² + (W’<sup>3</sup>)² - (W’<sup>0</sup>)²</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Dans le référentiel W<sup>A</sup>, les composantes non nulles de g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub> sont,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(11)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">g<sup>(0)</sup><sub>00</sub> = g<sup>(0)</sup><sub>33</sub> = g<sup>(0)</sup><sub>12</sub> = 1</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Après rotation des axes, la signature est (3,1) avec un tenseur métrique qui prend la forme diagonale, dite « de Minkowski, genre espace » :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(12)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">g’<sup>(0)</sup><sub>11</sub> = g’<sup>(0)</sup><sub>22</sub> = g’<sup>(0)</sup><sub>33</sub> = -g’<sup>(0)</sup><sub>00</sub> = +1</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><u>s = 1</u> : D = 8, W : S<sup>3</sup> -> <strong>R</strong><sup>8</sup>,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(13)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W<sup>ABC</sup> = (W<sup>000</sup>,W<sup>001</sup>,W<sup>010</sup>,W<sup>011</sup>,W<sup>100</sup>,W<sup>101</sup>,W<sup>110</sup>,W<sup>111</sup>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:35.4pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = (W<sup>0</sup>,W<sup>1</sup>,W<sup>2</sup>,W<sup>3</sup>,W<sup>4</sup>,W<sup>5</sup>,W<sup>6</sup>,W<sup>7</sup>) = W<sup>I</sup> (I = 0,…,7)</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(14)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">(W<sup>ABC</sup>)<sup>t</sup> = W<sup>CBA</sup> = (W<sup>000</sup>,W<sup>100</sup>,W<sup>010</sup>,W<sup>110</sup>,W<sup>001</sup>,W<sup>101</sup>,W<sup>011</sup>,W<sup>111</sup>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:106.2pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = (W<sup>0</sup>,W<sup>4</sup>,W<sup>2</sup>,W<sup>6</sup>,W<sup>1</sup>,W<sup>5</sup>,W<sup>3</sup>,W<sup>7</sup>) = (W<sup>I</sup>)<sup>t</sup> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">4 axes sont laissés invariants : (0), (2), (5) et (7). 4 axes permutent : (1) avec (4), (3) avec (6).</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(15)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W.W<sup>t</sup> = (W<sup>0</sup>)² + (W<sup>2</sup>)² + (W<sup>5</sup>)² + (W<sup>7</sup>)² + 2(W<sup>1</sup>W<sup>4</sup> + W<sup>3</sup>W<sup>6</sup>)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:35.4pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = ½ [(W<sup>0</sup> + W<sup>2</sup>)² + (W<sup>0</sup> - W<sup>2</sup>)² + (W<sup>5</sup> + W<sup>7</sup>)² - (W<sup>1</sup> - W<sup>4</sup>)² + </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">+ (W<sup>1</sup> + W<sup>4</sup>)² + (W<sup>5</sup> - W<sup>7</sup>)² + (W<sup>3</sup> + W<sup>6</sup>)² - (W<sup>3</sup> - W<sup>6</sup>)²]</span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:70.8pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> = (W’<sup>1</sup>)² + (W’<sup>2</sup>)² + (W’<sup>3</sup>)² - (W’<sup>0</sup>)² + (W’<sup>5</sup>)² + (W’<sup>6</sup>)² + (W’<sup>7</sup>)² - (W’<sup>4</sup>)²</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Dans le référentiel W’<sup>I</sup>, la signature est (6,2) et le tenseur métrique est minkowskien, diagonal bloc :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(16)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">g’<sup>(A)(A)</sup><sub>ij</sub> = g’<sup>(0)</sup><sub>ij</sub> , g’<sup>(A)(1-A)</sup><sub>ij</sub> = 0 (i,j = 0,1,2,3)</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Le cas W’.W’<sup>t</sup> = 1 nous ramène aux polarisations (B 171). On note, en abrégé, cos(ksi<sub>n</sub>) = c<sub>n</sub>, sin(ksi<sub>n</sub>) = s<sub>n</sub> , ch(ksi<sub>n</sub>) = ch<sub>n</sub> et sh(ksi<sub>n</sub>) = sh<sub>n</sub> pour des angles ksi<sub>n</sub> et un n dans <strong>N</strong>*.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = 0, la paramétrisation est :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(17)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W’<sup>0</sup> = W’<sub>0</sub> = c<sub>1</sub> , W’<sup>1</sup> = W’<sub>1</sub> = s<sub>1</sub> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On n’a qu’un seul angle de rotation, autant que SO(2). Les états purs sont x’<sup>A</sup> = s<sub>2</sub>W’<sup>A </sup>; le mélange, s<sub>2</sub> = W’<sub>A</sub>x’<sup>A</sup>.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = ½, c’est :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(18)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W’<sup>1</sup> = W’<sub>1</sub> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>ch<sub>3</sub> , W’<sup>2</sup> = W’<sub>2</sub> = c<sub>1</sub>s<sub>2</sub>ch<sub>3</sub> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:17.85pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>3</sup> = W’<sub>3</sub> = s<sub>1</sub>ch<sub>3</sub> , W’<sup>0</sup> = -W’<sub>0</sub> = sh<sub>3</sub> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il y a 3 angles de rotation, autant que SO(3). Les états purs sont x’<sup>i</sup> = s<sub>3,1</sub>W’<sup>i</sup> ; le mélange, s<sub>3,1</sub> = W’<sub>i</sub>x’<sup>i</sup>. </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Pour s = 1,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(19)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span><span dir="LTR">W’<sup>1</sup> = W’<sub>1</sub> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>ch<sub>6</sub> , W’<sup>2</sup> = W’<sub>2</sub> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>s<sub>5</sub>ch<sub>6</sub> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:17.85pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>3</sup> = W’<sub>3</sub> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>s<sub>4</sub>ch<sub>6</sub> , W’<sup>5</sup> = W’<sub>5</sub> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>s<sub>3</sub>ch<sub>6</sub> , W’<sup>6</sup> = W’<sub>6</sub> = c<sub>1</sub>s<sub>2</sub>ch<sub>6</sub> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:17.85pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:35.4pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>7</sup> = W’<sub>7</sub> = s<sub>1</sub>ch<sub>6</sub> , W’<sup>0</sup> = -W’<sub>0</sub> = c<sub>1</sub>sh<sub>6</sub> , W’<sup>4</sup> = -W’<sub>4</sub> = s<sub>1</sub>sh<sub>6</sub> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Il y a 6 angles de rotation, autant que SO(4). Les états purs sont x’<sup>I</sup> = s<sub>6,2</sub>W’<sup>I </sup>; le mélange, s<sub>6,2</sub> = W’<sub>I</sub>x<sup>I</sup>.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On établit sans difficulté que, pour s = 3/2, on dénombre 10 angles de rotation, autant que SO(5), ce qui donne :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>1</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>c<sub>6</sub>c<sub>7</sub>c<sub>8</sub>c<sub>9</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>2</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>c<sub>6</sub>c<sub>7</sub>c<sub>8</sub>s<sub>9</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>3</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>c<sub>6</sub>c<sub>7</sub>s<sub>8</sub>ch<sub>10</sub> ,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>4</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>c<sub>6</sub>s<sub>7</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>5</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>s<sub>6</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>6</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>s<sub>5</sub>ch<sub>10</sub> , </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>7</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>s<sub>4</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>8</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>s<sub>3</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>9</sup> = c<sub>1</sub>s<sub>2</sub>ch<sub>10</sub> , W’<sup>10</sup> = s<sub>1</sub>ch<sub>10</sub> ,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">W’<sup>11</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>c<sub>5</sub>sh<sub>10</sub> , W’<sup>12</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>c<sub>4</sub>s<sub>5</sub>sh<sub>10</sub> , W’<sup>13</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>c<sub>3</sub>s<sub>4</sub>sh<sub>10</sub> , W’<sup>14</sup> = c<sub>1</sub>c<sub>2</sub>s<sub>3</sub>sh<sub>10</sub> , </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">pour,</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">(W’<sup>1</sup>)² + (W’<sup>2</sup>)² + (W’<sup>3</sup>)² + (W’<sup>4</sup>)² + (W’<sup>5</sup>)² + (W’<sup>6</sup>)² + (W’<sup>7</sup>)² + (W’<sup>8</sup>)² + </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">+ (W’<sup>9</sup>)² + (W’<sup>10</sup>)² - [(W’<sup>11</sup>)² + (W’<sup>12</sup>)² + (W’<sup>13</sup>)² + (W’<sup>14</sup>)² + (W’<sup>15</sup>)² + (W’<sup>16</sup>)²] = 1</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On tient la récurrence. Pour une signature [2<sup>2s</sup> + 2<sup>E(s)</sup> , 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup>], il faut autant d’angles de rotation que le nombre de générateurs du groupe des rotations réelles SO(2s + 2), soit (s + 1)(2s + 1). Le (s + 1)(2s + 1)-ième de ces angles apparaît comme arguments des fonctions de l’hyperbole ch(.) et sh(.). Tous les autres sont arguments des fonctions du cercle cos(.) et sin(.). Nous venons d’établir le :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">COROLLAIRE 2</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">Pour une signature [p(s) = 2<sup>2s</sup> + 2<sup>E(s)</sup> , q(s) = 2<sup>2s</sup> - 2<sup>E(s)</sup>], p(s) + q(s) = D(s),</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">a) le nombre total d’angles de polarisation est de :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(20)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">dim[SO(2s + 2)] = (s + 1)(2s + 1)</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">s(2s + 3) de ces angles sont sphériques, seul le dernier est hyperbolique.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">b) Dans les référentiels primés, les états purs sont :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(21)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">x’<sup>i</sup> = s<sub>p(s),q(s)</sub>W’<sup>i</sup> [i = 1,…,D(s)]</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">c) les covecteurs polarisation,</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(22)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">W’<sub>i</sub> = g<sup>(0)</sup><sub>ij</sub>W’<sup>j</sup> [i,j = 1,…,D(s)]</span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">d) et le mélange,</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="margin-left:53.25pt;text-align:justify;text-justify:
inter-ideograph;text-indent:-35.25pt;mso-list:l1 level1 lfo2;tab-stops:list 53.25pt"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue; mso-fareast-font-family:"Times New Roman"">(23)<span style="font-feature-settings:normal; font-kerning:auto; font-language-override:normal; font-optical-sizing:auto; font-size-adjust:none; font-size:7pt; font-stretch:normal; font-style:normal; font-variant:normal; font-variation-settings:normal; font-weight:normal; line-height:normal"> </span></span><span dir="LTR"><span style="color:blue">s<sub>p(s),q(s)</sub> = W’<sub>i</sub>x’<sup>i</sup> </span></span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">:)</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On termine par deux définitions qui vont rappeler des souvenirs familiers à tout le monde :</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p align="center" class="MsoNormal" style="text-align:center"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">DEFINITIONS :</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue"> </span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"><span style="color:blue">Les états purs tels que décrits par (21) sont connus sous le nom de DIMENSIONS PHYSIQUES et le mélange (23) sous celui D’INTERVALLE SPATIO-TEMPOREL.</span></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">Cette fois-ci, je crois que la description physico-géométrique du paradigme est complète.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif">On devrait pouvoir passer aux applications.</span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"><span style="font-family:times new roman,times,serif"> </span></p>
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